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2017 年度 実績報告書

作用素の有界性を中心とした関数空間の研究と偏微分方程式への応用

研究課題

研究課題/領域番号 17J01766
研究機関首都大学東京

研究代表者

中村 昌平  首都大学東京, 理工学研究科, 特別研究員(DC1)

研究期間 (年度) 2017-04-26 – 2020-03-31
キーワード荷重の理論 / ストリッカーツ評価式 / 非線形シュレディンガー方程式
研究実績の概要

まず、本研究の研究目的を振り返る。すなわち、(1)種々の関数空間の持つ特性あるいは構造を、作用素の有界性という観点から明らかにし、(2)その特性を駆使して偏微分方程式、特にシュレディンガー方程式へと応用することが本研究の主目的であった。特に初年度の研究計画は、(1) の目標を達成することであった。以下、研究計画の進捗について述べる。まず、(1)に関する研究計画は順調に進んでいる。実際、当初の目的であった、荷重付きモレー空間の理解は、荷重を多項式荷重に制限することによって、ほぼ明らかになったと言える。なお、この結果は、すでに出版済みである。他方、多項式荷重以外の荷重のクラスを考えると、未だに明らかになっていない性質がいくつかあるものの、来年度は偏微分方程式への応用へと研究の比重をシフトしていく。というのも、この応用という観点から、特に重要であるのは、多項式荷重のクラスであり、それらについては上述の通りかなりの性質が明らかになったからである。
次に、(2)に関する研究計画について、こちらも初年度の研究計画は達成できたと言える。すなわち、ストリッカーツ評価と呼ばれる、非線形シュレディンガー方程式の解析において重要な役割を果たす評価式を、正規直交関数族に対して得ることに成功した。なお、この結果は現在投稿中である。さらに、考える空間をトーラス上に置き換えた場合の非線形シュレディンガー方程式に対して、時間局所的ではあるが、解の適切性を示すことにも成功した。この適切性の結果を、時間大域的にまで広げることは、来年度以降の目標である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

まず第一に、今年度の主目標であった荷重の理論の構築が、多項式荷重の制約付きとはいえ、うまく達成されたため。次に、偏微分方程式への応用としての足がかりとして、考えたい方程式に対するストリッカーツ評価も得ることができた。

今後の研究の推進方策

今年度に得られた、荷重の結果およびストリッカーツ評価式を用いて、フェルミオン多粒子系を記述する、非線形シュレディンガー方程式の解の適切性を論じる。また、より純粋な調和解析の問題である、フーリエ制限問題に関わるトピックの情報収集も並行して行う。

  • 研究成果

    (9件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (4件) (うち国際共著 2件、 査読あり 4件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 2件、 招待講演 4件)

  • [国際共同研究] Seoul National University(韓国)

    • 国名
      韓国
    • 外国機関名
      Seoul National University
  • [雑誌論文] New function spaces related to Morrey spaces and the Fourier transform2018

    • 著者名/発表者名
      Nakamura Shohei、Sawano Yoshihiro
    • 雑誌名

      Banach J. Math. Anal

      巻: 12 ページ: 1~30

    • DOI

      10.1215/17358787-2017-0014

    • 査読あり
  • [雑誌論文] harpness of the Brascamp-Lieb inequality in Lorentz space2017

    • 著者名/発表者名
      N. Bez, S. Lee, S. Nakamura and Y. Sawano
    • 雑誌名

      Electron. Res. Announc. Math. Sci

      巻: 24 ページ: 53-63

    • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
  • [雑誌論文] Complex interpolation of smoothness Morrey subspaces2017

    • 著者名/発表者名
      D. I. Hakim, S. Nakamura and Y. Sawano
    • 雑誌名

      Constructive Approximation

      巻: 46 ページ: 489-563

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] The Fractional Operators on Weighted Morrey Spaces2017

    • 著者名/発表者名
      Nakamura Shohei、Sawano Yoshihiro、Tanaka Hitoshi
    • 雑誌名

      J. Geom. Anal

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中

    • DOI

      10.1007/s12220-017-9876-2

    • 査読あり
  • [学会発表] On the Strichartz estimates for orthonormal system of initial data with regularity2017

    • 著者名/発表者名
      S. Nakamura
    • 学会等名
      名古屋微分方程式セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] On the Strichartz estimates for orthonormal system of initial data with regularity2017

    • 著者名/発表者名
      S. Nakamura
    • 学会等名
      阪大微分方程式セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] On the Strichartz inequality for orthonormal system2017

    • 著者名/発表者名
      S. Nakamura
    • 学会等名
      5th East Asian conference in Harmonic analysis and applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the Strichartz estimates for orthonormal systems of initial data with regularity2017

    • 著者名/発表者名
      S. Nakamura
    • 学会等名
      TOPICS IN HARMONIC ANALYSIS, Seoul National University
    • 国際学会 / 招待講演

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公開日: 2018-12-17  

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