研究課題
ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の部分多様体であり，そのトポロジーは他分野と関連している興味深い対象である．特に，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体と呼ばれるクラスは，そのコホモロジー環がイデアル配置と呼ばれる超平面配置で記述することができ，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体と呼ばれるクラスは，そのコホモロジーの上の対称群の表現があるグラフの彩色擬対称関数と（対称群の表現と対称式を，既約表現をシューア関数に送ることにより，同一視した上で）同値であるという綺麗な対応が知られているため，これらのクラスはヘッセンバーグ多様体の研究においても興味深い対象と思われる．今年度は，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の（ベクトル空間としての）基底としてどのようなものが与えられるかについての研究を行い，正ルートの積の形による基底が得られた．この得られた基底の一部として，与えられた正則な冪零ヘッセンバーグ多様体に含まれる正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対がすべて現れるため，これらのポアンカレ双対の集合が一次独立であることも得られた．A型以外に対しても，この問題に取り組んだ．そのためには，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の明示的表示を必要としたが，解決されていなかったLie typeにおける正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の明示的表示についても与えることができた．本研究は榎園誠氏，長岡高広氏，土谷昭善氏との共同研究である．
2: おおむね順調に進展している
(A型)正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の，生成元とその関係式による明示的な表示はこれまでに得られていたが，生成元の言葉を用いてコホモロジー環の（ベクトル空間としての）基底を具体的に与える問題についてはこれまで分かっていなかった．しかし，今年度の研究結果により，具体的に基底を一つ与えることができた．この結果は，色々と応用があるかもしれない．例えば，Harada-Tymoczko予想と呼ばれる「旗多様体のコホモロジー環から正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環への制限写像によるシューベルト類の像に関する基底の予想」とも関連があることが期待される．また，Stanley-Stembridge予想と呼ばれるグラフ理論の問題は，現在，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の上のある対称群の表現を調べることに帰着されており，半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の基底で対称群の作用の振る舞いと良いものを見つけることが大事であると考えている．これまでの結果として，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環と正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の対称群の作用による不変部分環が環同型であるということが分かっているため，今回得られた基底は正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の対称群の作用による不変部分環の基底を表している．そこから，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のコホモロジー環の上の対称群が自明に作用していない部分の基底の予想が得られるかもしれない．さらに，今回得られた基底は，与えられた正則な冪零ヘッセンバーグ多様体に含まれるすべての正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対を延長して得られる基底という見方ができるため，そこには幾何学的な背景が何かあるものと期待している．
今年度得られた結果を幾何学的な視点から研究を行う．旗多様体自身は，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体の特別な場合であり，この場合の正ルートの積の形として得られた今回の基底は，すべての正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対を延長して得られる基底という見方ができる．では，この得られた基底のうち，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対でないものは幾何学的には何を表しているのか，というのが素朴な疑問として浮かび上がる．これらは代数多様体のポアンカレ双対としては来ないが，滑らかな多様体のポアンカレ双対から生じるのではないかと期待している．既存の結果として，正則な冪零ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対は正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対と一致していることが分かっている．ここで，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体が滑らかであることが知られている．したがって，旗多様体のコホモロジー環の基底として，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対とそうでないものに分けられ，この差はalgebraicとsmoothの差を表しているのではないかと考えている．つまり，旗多様体のコホモロジー環のこの基底のうち，正則な半単純ヘッセンバーグ多様体のポアンカレ双対でないものは，旗多様体のどんな代数的な部分多様体のポアンカレ双対とも一致しないが，ある滑らかな部分多様体のポアンカレ双対を表しているのではないかと予想している．実際，特別な場合については，ある正則な半単純ヘッセンバーグ多様体と微分同相なものであると思われる．今回得られた基底の幾何学的な考察はとても興味深いものと思われるため，この研究を引き続き進めていく．
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Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)
巻: 印刷中 ページ: 印刷中
doi.org/10.1515/crelle-2018-0039
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences
巻: 94 ページ: 87～92
doi:10.3792/pjaa.94.87
