| 研究課題/領域番号 |
17J04650
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
片岡 武典 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-26 – 2019-03-31
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| キーワード | 岩澤理論 / Selmer群 / p進L関数 / Coleman写像 |
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| 研究実績の概要 |
今年度の研究成果は以下の2つに分けることができる．
1. 同変的な設定で岩澤加群のFitting不変量を計算する方法について研究した．総実代数体の円分Z_p拡大において，可換同変な場合にはGreither-栗原により岩澤加群のFittingイデアルを計算する方法が見出されている．私は昨年度の研究により，彼らの結果を拡張して非可換同変な場合にNickelの定義したFitting不変量を計算する方法を得ていた．今年度の研究では，まず昨年度の議論を抽象化し，公理的なFitting不変量を導入することでより洗練された形にした．この抽象化により，さらに代数体のp進Lie拡大のようなより一般の状況にも適用可能となった．ただしそのような状況では有用なFitting不変量が存在するかという問題が残っている．またこの抽象化により，Fitting不変量について知られていた代数的な命題を拡張するとともに証明を簡略化することができた．これらの内容について研究集会において発表したり論文誌に投稿したりした．
2. 楕円曲線の岩澤理論の可換同変化について，特に超特異還元の場合に研究した．非同変な状況での主予想は，小林の定義した±-Selmer群のPontryagin双対の特性イデアルがPollackの構成した±-p進L関数によって生成されるという形で定式化されている．これを拡張して可換同変的に考えるとき，±-Selmer群は同様に定義されるが，それが同変主予想の枠組みに適用できるかどうかは知られていなかった．私は±-Coleman写像を構成することでその±-Selmer群の性質について調べ，特に同変主予想に現れるべき代数側の対象として適当であることを示した．さらに±-Coleman写像によるBeilinson-加藤のゼータ元の行き先がp進L関数とみなせることを示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
第一の成果ではFitting不変量の扱いを代数的に整備することができ，同変岩澤理論の様々なシチュエーションに応用できるようになった．これは想定以上の成果である．そして第二の成果ではそれを実際に適用できるような主予想へのアプローチを検討した．これらの成果は本研究の目的の一つである虚二次体のイデアル類群についての結果を得るための基盤となる．よっておおむね順調に進展していると評価できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
第二の成果として記述した内容をさらに進展させ，特にEuler系の議論により同変主予想の片側の包含関係を示したり，虚数乗法を持つ場合を考察したりする．そういった考察を利用して，虚二次体上のイデアル類群についての結果を得ることを目指す．
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