| 研究課題/領域番号 |
17J05514
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
湯浅 智意 立命館大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-26 – 2019-03-31
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| キーワード | 確率微分方程式 / Unbiased simulation / Parametrix method |
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| 研究実績の概要 |
確率微分方程式の解の汎関数に関する数値計算手法の開発を行なっている．通常，確率的な数値計算手法は数値計算可能な確率過程で解の弱近似を行い，その積分をMonte Carlo method等で近似する二重近似となる．特に，弱近似の誤差が生じない確率変数（確率過程）をUnbiased estimatorと呼び，その数値計算手法をUnbiased simulation methodと呼ぶ．Unbiased estimatorの一つの構成方法は解の半群と解の近似半群との第二種Fredholm積分方程式の一意解によって構成される．Bally-Kohatsu (2015)は近似半群として，Euler-Maruyama近似（one step）を用いる事で，Unbiased estimatorを与えている．ただし，このUnbiased simulation methodは処理速度こそ速いが，分散が大きい問題点を持つ（一般には発散する）．そこで，Andersson-Kohatsu (2017)はimportance samplingを適用する事で，全てのmomentを有限にする事に成功している．
今回の研究では，Romberg extrapolation methodを適用する事で，importance samplingを適用する事なく，全てのmomentを有限にする事に成功した．同時に，Poisson kernel method（cf. Chen-Huang (2012)）を適用する事で，大幅なefficiencyの改善を行なった．
Unbiased estimatorの構成はTalyor展開に類似する箇所があり，その分散はfirst expansionのorderに依存している．先行研究のorderは1/2であり，order 1となる解の近似半群を上手く見つける事で，分散を有限にする．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
１．Unbiased simulation methodの局所制限：Unbiased simulation methodは分散が大きい為，不安定な数値計算手法となる．そこで，近似作用素として，局所制限を加えたEuler-Maruyama近似（one step）を用いる．この近似作用素からなる第二種Fredholm積分方程式を考える事で，Unbiased estimatorを構成し直した．この局所制限は大きな値（悪いpath）を引き当てた際，その値を小さくする事が可能である．ただし，その精度は局所制限の導関数に依存し，本来良いpathが悪いpathになる別問題が生じた為，この研究は現在未発表のままとなっている．
２．Second order unbiased simulation method：研究実績の概要で記載した研究であり，この研究は現在投稿中である．
３．Unbiased simulation method for RSDEs：反射壁確率微分方程式に関するUnbiased simulation methodを考える．ただし，解析的なapproachと確率的なapproachの両方面から行う．確率的なapproach複雑なorderの計算を代数的な処理で行う事を可能とする．この研究は現在執筆中である．
４．高次元SDEに対する近似過程の構成：確率微分方程式の解の近似として，Euler-Maruyama近似がある．通常，fluctuationの近似としてWiener過程が用いられるが，次元が高次元になると，一様乱数の生成量の増大により処理速度が遅くなる．そこで，L_2空間の完全正規直交基底を用いる事で，乱数の水増しを考える．特に，Wiener過程の変わりにHaar関数を用いた確率変数で近似する事で，大幅にefficiencyを改善するに至った．この研究は現在執筆中である．
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| 今後の研究の推進方策 |
１．Unbiased simulation method for RSDEsと高次元SDEに対する近似過程の構成：昨年度の研究を継続して行う．特に，確率的なapproachを行う事で，次の研究３の準備を行う．
２．Unbiased simulation method for skew diffusions：反射壁確率微分方程式と同様に，Skew Diffusionに関するUnbiased simulation methodを考える．
３．反射壁確率微分方程式とSkew Diffusionに関する部分積分公式の構成：確率微分方程式に関するUnbiased simulation methodを用いる事で，一階微分に関する部分積分公式を導出する事が可能である．ただし，二階微分に関する部分積分公式を導出する事には至ってはいない．この研究はMalliavin解析とは違ったapproachであり，様々なgreeksに関するUnbiased simulation methodの開発に繋がっている．
４．SDEのmaximaの密度関数の構成とその評価：Malliavin解析を用いた確率微分方程式のmaximaに関する研究が行われている．ただし，Malliavin解析を用いるには強い仮定を必要とする．そこで，Unbiased simulation methodで用いた議論を適用する事で，より弱い仮定の下での議論を可能とする．
５．Unbiased simulation method for barrier options：Stopping timeをmaximaで表す事で，Bally-Kohatsu (2015)の結果と４の結果で得られる密度関数の同時密度関数を用いる事で， Barrier optionのUnbiased simulation methodを考える．
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