| 研究課題/領域番号 |
17K00048
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
青木 敏 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90332618)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | グレブナー基底 / 実験計画法 / 多項式環 / イデアル / 準素イデアル分解 / ANOVAモデル |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題に関連し、以下の2つのテーマについて、主に研究を行った。
(1) 指示関数を使った一部実施計画の特徴づけは、計算代数手法の実験計画法への応用として、2000年頃に提案された古典的な話題のひとつである。従来の研究では、因子がすべて2水準の計画については、計画の直交性などの性質が指示関数で特徴づけられることが知られていたが、3水準以上の因子を含む一般の計画については、同様の特徴づけは未解決問題であった。Aoki (2019) では、一般の計画に対して、任意の強度の直交性をもつ計画に対応する指示関数の係数が満たす代数方程式系の導出方法を与えた。この論文では、本手法の適用例として、2x2x2x2x3 計画のすべての強度3の直交計画の列挙と分類を行った。同様にして、よりサイズの大きい問題について、与えられた性質をもつ一部実施計画を列挙、分類することは、計算量的な困難を生じる。今年度は、この点について、準素イデアル分解を利用した算法の利用を定式化した。
(2) 計画上の多項式モデルの識別性を、グレブナー基底の計算により判定する理論は、計算代数統計の最も初期の結果のひとつである。この理論においては、計画上の応答関数が、多項式によって表現される（多項式関数である）ことが重要であるが、一方で、実験計画法で伝統的に用いられている分散分析モデル（ANOVAモデル）との関係については未知であった。今年度は、両者の対応について研究し、多項式モデルは、母数の識別性のための線型制約として水準に依存する特殊な制約を考えた時のANOVAモデルと同等であることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
指示関数を利用した一部実施計画の列挙については、目標としていた2x2x2x2x3計画のすべての（強度２の）直交計画の列挙については、現在計算中である。直接的なグレブナー基底の計算は難しいことが確認できたが、ヒューリスティックな方法により多様体の一部を取り出し、準素イデアル分解を実行したところ、そちらは計算でき、1個につき111個の零点を得た。同様の方法により、すべての解を列挙することが、不可能ではないと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在、計算実行中の、2x2x2x2x3計画のすべての直交計画に関し、すべての解の列挙と、同値類による分類を行う。可能であれば、さらにサイズの大きい問題にも取り組む。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月に参加を予定していた学会（数学会とテクノメトリクス研究会、いずれも東京）が、新型コロナウィルスの影響で中止となったため。
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