| 研究実績の概要 |
数理計画問題は1940 年代に線形計画問題が登場してから実社会の問題に合わせるように非線形問題, 整数計画問題，ネットワーク計画問題とその対象を拡げて発展してきました. その中でも線形計画問題は最も基本的なモデルであり古くから研究されてきた分野です. 単体法アルゴリズムが多項式オーダーで解くことができないこと(Klee, Minty, 1972)が分かってから, 線形計画問題を解く多項式時間アルゴリズムの開発が盛んになってきました. しかし, 線形計画問題に対する強多項式アルゴリムの存在は分かっていません.
本研究は線形計画(LP)問題に対する高速アルゴリムの開発を目指しています．LP-Newton法(Fujishige et al.)のようにZonotopeを利用し，新しいアルゴリズムをデザインしています．ボックス制約付きの等式標準形LP問題はZonotope(凸多面体)と半直線の共通集合上の最大化問題に等価変換をし，変換した後の問題に対して，等式制約の点ベクトルはボックス制約の各頂点の凸結合で表すことを満たしながら，それらの頂点がZonotopeへの射影点はちょうどZonotopeの「面」になっていることは最適解であることになりますので，このようなボックス制約の頂点をみつけるアルゴリズムの設計を行いました．
このアルゴリズムはWolfeの最小ノルム点を求めるアルゴリズムをZonotopeの上で直接利用しないで，最適解を求めることができます．間接的にもWolfe のアルゴリズムを利用しないで独立にアルゴリズムの設計も試案しました.
計算機実験により，本研究のアルゴリズムはLP-Newton方法と比較しました. 次元=500, 制約の個数=100の場合, LP-Newton法は3.467(秒)に対して, 提案手法は1.367(秒)でした。Newton stepsの利用は平均で5.1回から2回まで下がっています. 提案手法は計算速度の面で, 優位であることが観測されたことは言えると思われます.
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