| 研究実績の概要 |
１．ベキ零部分群複体：G を有限非可解群とし, N(G) を G の非自明なベキ零部分群全体からなる複体とする. 本研究では, 有理整数環上のホモロジー Hn(N(G)) の構造を考察した. これは G の素数グラフの連結成分πに対して Hn(Nπ(G)) の構造に帰着される. ここで Nπ(G) は G の非自明なベキ零π－部分群全体からなる複体である. 特に素数 2 を含む連結成分π1に対して Hn(Nπ1(G)) が分かれば全体の Hn(N(G)) が分かることを明らかにした. 具体例として様々な単純群について対応するホモロジーの計算を遂行した. 以上の研究成果は数学専門誌 Tokyo Journal of Mathematics に掲載予定である.
２．ブラウアー指標に関わる類関数について：有限群 G と自然数 n に対して Ln(G) を g^n=1 なる G の要素 g 全体からなる集合とする. cf(Ln(G)) を Ln(G) 上の複素数値 G-類関数全体からなる代数とする. 指標環 Z[Irr(G)] を Ln(G) で制限した cf(Ln(G)) の部分環を Bn(G) で表す. 素数の集合πに対して G の位数のπ’部分を m としたとき Bπ(G) を Bm(G) で定める. πを素数 p の一点集合としたとき Bp(G) は G の一般 p－ブラウアー指標環を与える. 即ち, 我々の cf(Ln(G)) や Bn(G) はブラウアー指標の自然な一般化である. 本研究では cf(Ld(H))（d は自然数, H は G の部分群）上に内積を定義し, これらの代数の間にあるフロベニウス相互律の類似を証明した. その応用として, 一般指標の間に成り立つ合同式を新たに証明した. 以上の研究成果は数学専門誌に現在投稿中である.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
異なる素数 p, q に対して p-部分群複体と q-部分群複体の関係を調べることが, 本研究の目的の一つである. そのための手段として, 有限群 G の非自明なベキ零部分群全体 N(G) からなる部分群複体が極めて重要であると我々は考えている. ２９年度の研究では, その足掛かりとして, 有限非可解群 G に対するホモロジー Hn(N(G)) の構造を決定した. ホモロジーは複体に付随する基本的な量であり, 即ち, 基礎となる情報の収集が順調であることを示している.
一方, 上記の事柄と平行して, p-ブラウアー指標と q-ブラウアー指標の関係を調べることも極めて重要な研究課題である. ２９年度の研究では, 一般 p-ブラウアー指標全体からなる指標環の概念を含む, cf(Ln(G)) や Bn(G) を新たに導入した. これにより p- q-ブラウアー指標を同時に考察することが出来る数学的な足場が整えられたことになる. 以上の理由から本研究は概ね順調に進展していると判断するものである.
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| 今後の研究の推進方策 |
２９年度の研究成果を踏まえて, N(G) やそれに関連する複体の可縮性やホモトピーの性質を追求する. 特に p-部分群複体の可縮性はクイレン予想として良く知られている. そこで, 一般に素数の集合πに対してπ－部分群複体やベキ零π－部分群複体の可縮性を考察し, 同時にそれらとホモトピー同値になるような極小部分複体を特定する. 加えて p-複体と q-複体の貼り合せを数学的に考察する.
一方, ２９年度の指標に関する研究では, 一般指標環 Z[Irr(G)] を Ln(G) で制限した cf(Ln(G)) の部分環 Bn(G) を取り扱った. Ln(G) は見方を変えれば, 一変数の群 G 上の方程式 X^n=1 の解集合である. そこで, 今後は一般に, G 上の多変数の単項式 f を考え, その根全体を Sol(f) とする. この Sol(f) は Ln(G) の概念を含む. このとき一般指標環 Z[Irr(G)] を Sol(f) で制限した代数を今年度の Bn(G) のように考察する.
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