| 研究実績の概要 |
G を有限群とし e をその単位元とする。G の部分群全体 Sgp(G) を包含関係と共にポセットあるいは複体と見なし，また同時に付随するクイバーとも見なす。
n を自然数とする。G のベキ零部分群 H で H の指数 exp(H) が n を割り切るもの全体からなる集合を N(G,n) で表す。我々の先行研究によってポセットあるいは複体 N(G,n) が当該年度の研究対象となる。
ベキ零群の特殊性と N(G,n) の定義から直ちに分かることとして，N(G,n) は N(C_{G}(x),n) のいくつかの和集合で実現される。ここで G 上の方程式 X^{n}=e の解集合を L_{n}(G) とし，x は L_{p}(G) の要素，p はπ(G)の要素を動く。そこで r 個の和集合で N(G,n) が実現されるとき, それを N(G,n) の r-cover と定義する。前年度では特に 1-cover であるための必要十分条件を突き止めた。
当該年度の研究実績は N(G,n) の 2-cover が存在するとき，N(G,n) や元の群 G の性質を様々に明らかにしたことである。１．n が素数巾の場合 N(G,n) は複体として常に可縮である。２．n が素数巾 p^{d} の場合 G の シロー p-部分群は非巡回群である。３．G の Fitting 部分群 F(G) と G の最大正規 π-部分群の共通部分は非自明である。４．N(G,n) は連結である。５．N(G,n) のホモロジー群はより低い次元の部分複体のホモロジー群に帰着できることを具体的な表示を用いて示した。
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