| 研究実績の概要 |
本研究の主要なテーマの一つは, 数論的ゼータ関数・L関数の零点分布に関する一般リーマン予想を, 適当な関数空間の諸性質に関連付けて解明することである. これに取り組むため，代表者は当初, 目的とするゼータ関数・L関数をある補助的な2つのパラメータによって微小変形させたものを考察していたが, 昨年度の研究によりパラメータを一つ排除して理論を単純化できる可能性が見出された. しかしながら, パラメータを一つ排除することにより, パラメータが2つの時に用いる事のできた de Branges 空間という良いHilbert空間の理論が利用できない箇所がいくつも生ずるという問題点が残されていた. 本年度はそういった問題点の解決に取り組み, いくつかの問題点を解決した.その結果として, 一般リーマン予想の同値条件を, 実軸上のL2空間に作用するコンパクトな積分作用素の1パラメータ族の性質によって記述することができた. しかもこの過程において, 対数微分の実部の正値性のような従来知られていた一般リーマン予想の同値条件と, 本研究との関係も明らかになり, 数論的な性質と関数解析的な性質の関係性についての理解が一歩進んだ. いっぽう, 上記のような積分作用素の族を経由して, 数論的ゼータ関数・L関数とある消散型波動方程式のコーシー問題との関係が見出された. このような波動方程式は, 物理的な理由によって, 消散項が正の場合に扱われるのが殆どであったが, 今回の発見によって消散項が正とは限らない場合の研究にも重要な意義があることが示された.
|
| 今後の研究の推進方策 |
研究実績の概要で述べたように, 補助的パラメータを一つ排除する際に生ずる問題点は本年度で概ね解決されたが, 技術的な細部を埋める必要がある箇所も若干残っているので, そういった細部まで込めて, 一旦理論を一通り整えることを目指す. また, 整数論関係の専門家のみならず, 関数解析学や微分方程式の専門家との意見交換によって, 得られた結果の新たな応用の発見や, 理論を更に発展させることを目指す.
|
