| 研究課題/領域番号 |
17K05168
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
山岸 正和 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (40270996)
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| 研究分担者 |
水澤 靖 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (60453817)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 等分多項式 / ヤコビ楕円関数 / 終結式 / 判別式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では研究代表者がこれまで行なってきたチェビシェフ多項式の数論的研究の二つの方向への拡張・一般化を目指す。一つ目の対象は楕円関数・楕円曲線・形式群などに由来する各種等分多項式であり、二つ目の対象はゲーゲンバウエル多項式・ヤコビ多項式を始めとする各種古典的直交多項式である。主としてチェビシェフ多項式との類似の観点から、これらの多項式を題材として未知の数論的性質を明らかにし、また数論的応用を試みる。
本年度の研究実績は次のとおりである。ヤコビ楕円関数の等分多項式の終結式・判別式の明示的公式を得るための数値計算と結果の予想を本研究課題採択以前からある程度行なっていたが、本年度は予想の一部について証明に成功した。具体的には、ヤコビ楕円関数の4種類の等分多項式A_n,B_n,C_n,D_nに対し、次数nを固定した上で2種類の多項式X_nとY_nとの終結式の明示的公式を与え、その応用として判別式の明示的公式も与えた。この結果を論文としてまとめ学術雑誌に発表した。また等分多項式の終結式・判別式に関する主に研究代表者による最近の結果をより広い観点から整理し、研究集会で成果発表を行なった。以上は山縣幸司氏との共同研究である。
未完成の結果として次が挙げられる。形式群由来の等分多項式に関し一定の結果を得ているが論文にまとめるには至っていない。またチェビシェフ多項式のグラフ理論・符号理論への応用に関する具体的着想をいくつか得て、数値計算を行なった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実施計画のうち、ヤコビ楕円関数の等分多項式に関しては目標の1/3程度の進捗である。平方剰余と超幾何級数に関するRedei-Carlitz-本田-小池の定理の楕円類似と、第1,2,3,4種チェビシェフ多項式とヤコビ楕円関数の4種類の等分多項式A,B,C,D（あるいは4種類のテータ関数）の類似の追究に関しては残念ながら十分な考察ができていない。その一方で、研究計画時には思いもよらなかったことであるが、グラフ理論・符号理論のある問題への応用に関し具体的な着想を得ることができ、また数値計算も順調に進んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画を若干変更し、次年度はグラフ理論・符号理論への応用研究に優先的に取り組み、数値計算に基づく予想の提出とその証明をめざす。また形式群由来の等分多項式に関する考察を深める。研究実施計画に挙げた3課題については基礎的考察を継続する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
計算機の購入価格を予定より抑えられたことと、情報収集・資料収集のための国内旅行の機会が予定より少なかったことにより次年度使用額が生じた。平成30年度は情報収集・資料収集・研究打ち合わせのために比較的遠方への国内旅行を予定しており、それに充当する。
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