概均質ベクトル空間の整数論

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05169
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 雪江 明彦 京都大学, 理学研究科, 教授 (20312548)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 概均質ベクトル空間 / 有理軌道 / 密度定理

研究実績の概要

平成29年度はいくつかの概均質ベクトル空間の有理軌道を決定した論文が完成し，投稿した. これらの論文は雑誌からアクセプトされた. 概均質ベクトル空間の有理軌道には興味深い整数論的な意味があることがいくつかの例でわかっている. 今回決定したのは例外群に関係したものと，GSp(6) の比較的孤立した表現に関するものである. とくに例外群に関係したものは分裂している場合には有理軌道が3次体と1対1に対応し興味深い. これらの結果は整数論だけでなく，もしかしたら物理にも関係する可能性もある. また，D_4 型単純群の放物部分群からできる概均質ベクトル空間で分裂してない8次元の表現があるが，その場合のゼータ関数の局所理論を考察，また局所密度を決定し，この場合の密度定理を証明した. この場合の大域理論は随分前に決定して論文として発表済みだが，今回は局所ゼータ関数の一様評価を証明し，また局所密度を計算した. 興味深いのは，有理軌道は2次体とは完全には1対1には対応しないが，局所軌道と玉河数の考察により，2次体に燗する密度定理が得られることである. このようなことは過去のフィルター化プロセスではなかったことである. 得られた密度は F を2次体，k を固定された3次体，L=k\cdot F とすると，F を動かしたときの h_LR_L/h_FR_F の密度である. こういった結果は今までにはない結果だと思われる. また，京都での保型形式の研究集会と広島仙台整数論集会を主催した.

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

平成29年度は次の3つの論文がアクセプトされた.
(1) R. Kato and A. Yukie, Rational orbits of the space of pairs of exceptional Jordan algebras, to appear in J. Number Theorey. (2) A. Yukie, Rational orbits of primitive trivectors in dimension six, to appear in Tohoku Math. J. (3) A. Yukie, Rational orbits of prehomogeneous vector spaces, to appear in RIMS bessatsu.
(3) はアナウンスで (1), (2) は原著論文である. (1) では J を例外 Jordan 代数とするとき，J\oplus J の有理軌道の解釈を決定し，(2) では GSp(6) の14次元表現である概均質ベクトル空間の有理軌道の解釈を決定した. また，次の論文も完成し投稿中である.
(4) A. Yukie, On the density theorem related to the space of non-split tri-Hermitan forms I (5) A. Yukie, On the density theorem related to the space of non-split tri-Hermitan forms II.
k を固定された3次体とし，2次体 F を動かし，L=k\cdot F とするとき，h_LR_L/h_FR_F の密度を決定した. 概均質ベクトル空間に関連密度定理という当初の目的に沿った結果が得られている.

今後の研究の推進方策

当初計画していた概均質ベクトル空間の GIT stratification を計算機を使って決定するという問題に取り組み始めている. これは基本的には線形計画法の問題だが，考える場合が多く，どれだけ効率的に場合の数を減らすかがポイントである. Weyl 群の作用により，考えるケースの代表元を求めるところまではC言語による計算で既にできた. Weyl 群の作用は基本的には並べ替えだけなので，C言語でも正確性は保証される. 最大で 2 億個の集合に位数4万の Weyl 群が作用する場合も代表元が決定でき，4万くらいになった. この場合の計算は CPU time で約3分かかる計算であった. これは教室の計算サーバ hpserv0 も使った. さらにその結果をもとにして少し遅いが，MAPLE による計算で GIT stratification におけるパラメータとなるベクトルを求める計算を平成30年度にする予定である.

次年度使用額が生じた理由

平成29年度に研究集会を2回主催したが，自分の科研費を使用したいという研究者の数が見込みより多く，また数論合同セミナーに招待する予定だった研究者の予定がうまくつかず，未使用額が生じた。この未使用額が今年度より多くの研究者を招聘することなどにより使用する予定である。

研究成果

• [雑誌論文] Rational orbits of the space of pairs of exceptional Jordan algebras (2018)
  • 著者名/発表者名: R. Kato and A. Yukie
  • 雑誌名: J. Number Theory 巻: to appear ページ: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] Rational orbits of primitive trivectors in dimension six (2018)
  • 著者名/発表者名: A. Yukie
  • 雑誌名: Tohoku Math. J. 巻: to appear ページ: 印刷中
  • 査読あり
• [雑誌論文] Rational orbits of prehomogeneous vector spaces (2018)
  • 著者名/発表者名: A. Yukie
  • 雑誌名: RIMS Kokyuroku Bessatsu 巻: to appear ページ: 印刷中
  • 査読あり
• [学会発表] On the local density of prehomoegenous vector spaces (2017)
  • 著者名/発表者名: A. Yukie
  • 学会等名: 4th Kyoto conference on automorphic forms
  • 招待講演