| 研究課題/領域番号 |
17K05175
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
水野 義紀 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (30546388)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 類数 / 連分数 / 単数 / ベルヌーイ数 / 整環 |
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| 研究実績の概要 |
1.有理数のg進数展開係数をディリクレ指標で捻った値の平均を定義し、その明示公式を与えた。結果は一般ベルヌーイ数で表示される。応用として、素数pが4で割ると3余るときの1/pのg進数展開係数と虚二次体の類数h(-p)を結びつけるGirstmairの公式を、一般の虚二次体の場合にまで拡張した。一般虚アーベル体の類数公式を扱った平林による先行結果の存在に気づき、相互関連を考察した。虚二次体に関して言えば、より明確に定式化できていると思われる。この結果をA certain twisted average value of the digits of rational numbers and the class numbers of imaginary quadratic fieldsと題して執筆し、学術誌に投稿した。また、徳島県の高校生を対象とした、数学オリンピック講習会において、初等整数論の基礎的内容と併せて、この題材を取り入れて紹介した。
2.ザギエ和と実及び虚二次体の類数に関する合同式を扱った論文Congruences relating class numbers of quadratic orders and Zagier's sumsがJournal of Number Theoryに掲載された。この方向をKimとさらに追究し、残された場合にも類似結果が成り立つことを確認した。実二次体の単数に関わる合同についての新しい知見を活用したが、その知見自身にも独立に価値があると感じる。共著論文Congruences for odd class numbers of quadratic fields with odd discriminantを作成し、学術誌に投稿した。(Jigu Kimとの共同研究)
3.エルミート・モジュラー形式のディリクレ級数とその応用を扱った論文Koecher-Maass series associated to Hermitian modular forms of degree 2 and a characterization of cusp forms by the Hecke boundが、Journal of Mathematical Analysis and Applicationsに受理・掲載された。(Roland Matthesとの共同研究)
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一般判別式の二元二次形式と二次整環のイデアル論についての考察が大幅に進んだことが、第一に挙げられる。有理数のg進数展開係数に関する内容も、判別式の条件を緩めるという問題意識から派生したものである。また、研究代表者と金子による種の指標L関数の明示式に関して、研究実績2で述べたことに留まらず、更なる応用の可能性が見込まれる。実際、この明示式はプレプリント等で引用されるようになってきている。この明示式自体、カトック・サルナック型結果の範疇に属しており、研究課題名に適合している。
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| 今後の研究の推進方策 |
アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開に関して、研究期間中にも他の研究者による様々な進展がみられる。これらをできるだけ活用することで今後の研究推進を促したい。研究の過程において、基本判別式とは限らない一般判別式の二元二次形式については多くの課題が残されていることを認識した。特にモジュラー形式との関連を中心に、気づいた点を追究する。また、有理数のg進数展開係数に関する内容は、更なる発展の余地があり、考察を続けたい。これまでの成果で未出版のものが複数あり、それらを深化させることや論文出版に向けての作業にも集中する必要がある。いくつかの成果については、いずれ口頭発表を行いたいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
コロナウィルスのため出張が取りやめとなり旅費に再度の残額が生じた。出張が可能になれば、主に旅費として使用したい。次年度使用額のうち一部を、図書費、印刷機器整備費、パソコン関係の物品費に充てる予定である。
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