| 研究課題/領域番号 |
17K05176
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
高橋 浩樹 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (90291476)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 岩澤加群 / Greenberg予想 / Kummer-Vandiver予想 / イデアル類群 / 特殊元 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，様々なp進ガロア表現に付随する岩澤加群の構造を特殊元を用いて具体的に調査し，実p分体のKummer-Vandiver予想，総実代数体Greenberg予想，一般代数体の一般Greenberg予想などの未解決予想に対して詳しい成立理由を調査することである．
Kummer-Vandiver予想，総実代数体のGreenberg予想に関連して，二次体に1の原始p乗根を添加した体の円分Z_p拡大に対する岩澤加群の構造について，二次体の判別式の絶対値が200未満に対して70万までの素数の範囲において計算機による調査を終了した．さらに100万までの調査を続行しているが，本年導入したMulti-Core CPU計算機によって計算能力が大幅に向上し，半年内に一回目の計算が終了することが見込まれる状況になった．本計算で発見された例外的な実例の個数は予測値に近似する値であることを引き続き確認しているが，特に判別式167の虚二次体に対して得られた例外的な素数p=937942はこれまでの計算結果の中で最大のものであり，2004年に公表した円単数とGauss和による類数計算のアルゴリズムの高速性を例示できる興味深い実例になると考えられる．なお，複数の計算機で数年にわたって計算を実行しているため，データのごく一部であるがファイルの書き込みエラーが含まれていることが同時に行っている計算チェックにより判明している．二回目の計算結果と比較することによってこれまでのデータの確認およびエラーの修正を行っており，現時点では60万までの素数の範囲で作業が終了している．また，二次体の判別式の絶対値が10未満に対しては1500万までの素数の範囲の調査を終了しており，現在2000万までの調査を続行している．さらに，ソフトウェアの更新による不具合に対処するため，実行プログラムについて見直しを行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計算機による調査および予備調査が計画通りに進んでおり，期待していた実例も順調に得られているため．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画に従い，二次体に1の原始p乗根を添加した体の岩澤加群の具体的な構造についての計算機による二種類の実験を継続的に推進し，一般Greenberg予想に対する精密な調査を行う．特に，二次体の判別式の絶対値が200未満に対する100万までの素数の範囲における調査の完了を目指す．また，アーベル多様体のpべき等分点に対するSelmer群内の大きな不分岐表現の既存の構成法およびその限界についての考察を進める．
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