K群の特殊元を用いた多変数岩澤加群の解析

2022 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05176
• 研究機関: 徳島大学
• 研究代表者: 高橋 浩樹 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 教授 (90291476)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2023-03-31
• キーワード: Greenberg予想 / Kummer-Vandiver予想 / 一般Greenberg予想 / 特殊元 / 単数群 / K群

研究実績の概要

本研究の目的は，Kummer-Vandiver予想，総実代数体のGreenberg予想，一般代数体の一般Greenberg予想などの未解決予想に対する詳しい成立理由を調査することである．
Kummer-Vandiver予想，総実代数体のGreenberg予想に関連して，二次体に1の原始p乗根を添加した体の円分Z_p拡大に対する岩澤加群の構造について，二次体の判別式の絶対値が200未満に対して100万～200万までの素数の範囲，絶対値が10未満に対しては2000万～4000万までの素数の範囲で調査を継続しており，実二次体に対しては前者は140万まで，後者は3000万までの素数に対し第一回目の調査が終了した．興味の対象である例外的な実例についても予測通りの割合で得られている．
岩澤加群の構造に深く関係する有限次代数体のイデアル類群の構造について，p分体に含まれる二次体上の素数lべき次の虚アーベル体のイデアル類群のl部分の計算機による調査を100万以下の素数pに対して行い，3以上101以下の素数lに関する実例を表にまとめた．市村文男氏によって定義された岩澤不変量に類似した不変量についてもl=3の場合与えており，μ不変量に対応する量は0，λ不変量に対応する量については1～6の範囲，ν不変量に対応する量には-2～5の範囲であり，特に負となるν不変量の実例が興味深いと考えられる．
4p分体の一般Greenberg予想について，プログラムを改良した上でp単数群のペアリングを計算することにより，4を法として3と合同な65536以下の素数について3つの例外的な素数を除いて確認することができた．特にp単数群のペアリングにおける非自明な零の個数は均等性を基にする予測された分布にほぼ近似していることを引き続き確認しており，これは一般Greenberg予想の成立を支持する理由のひとつとなる．

研究成果

• [雑誌論文] On the class groups of certain imaginary cyclic fields of 2-power degree (2022)
  • 著者名/発表者名: ICHIMURA Humio、SUMIDA-TAKAHASHI Hiroki
  • 雑誌名: Journal of the Mathematical Society of Japan 巻: 74 ページ: 945-972
  • DOI: 10.2969/jmsj/86438643
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] A Generalized Problem Associated to the Kummer-Vandiver Conjecture (2022)
  • 著者名/発表者名: Sumida-Takahashi Hiroki
  • 雑誌名: Arnold Mathematical Journal 巻: - ページ: -
  • DOI: 10.1007/s40598-022-00220-3
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the l-part of the Class Groups of Imaginary Cyclic Fields of Conductor p and Degree 2l^n (2022)
  • 著者名/発表者名: Hiroki Sumida-Takahashi, Naoki Furuya and Kodai Kitano
  • 雑誌名: Journal of Mathematics, Tokushima University 巻: 56 ページ: 1-10
  • オープンアクセス
• [備考] Exploring the Galois Universe
  • URL: https://math0.pm.tokushima-u.ac.jp/~hiroki/major/galois1-e.html