| 研究実績の概要 |
階数２の群の非ココンパクトな離散部分群に対する素測地線定理について研究を行い、新たな結果を得た。高階数の群でも非ココンパクトな離散部分群の場合は、階数１のカルタン部分群に対応する素測地線に関する素測地線定理については既にいくつの場合に知られていたが、非ココンパクトな離散部分群に対する高階数のカルタン部分群に対応する素測地線定理は今まで知られている例はなかった。
具体的には階数２の群SL(3,R)の合同部分群に対して階数１のカルタン部分群の正則元上の軌道積分が消え、且つユニポテント重み付き軌道積分が消えるような「擬尖点形式」を構成することによって、ある種の跡公式の単純化を得た。この跡公式の単純化を用いてある２変数のディリクレ級数の解析的性質を調べることが可能となり、２次元のカルタン部分群に対応する“素測地線”に対する素測地線定理を得ることが出来た。特に、離散部分群としてSL(3,Z)を取ると、総実三次体の整環すべてに渡る類数と単数基準の積の和の漸近公式を得ることが出来て、数論的にも重要であると言える。
証明のポイントは上記のある２変数のディリクレ級数に関して、これはセルバーグゼータ関数の対数微分の２変数類似とは形が少し異なるが、素測地線定理を得るには十分であるという点にある。しかしながら、今回得られた素測地線定理の誤差項の評価には、対応する２変数のセルバーグゼータ関数の解析的性質が必要であるので、次年度以降に扱いたい。
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| 今後の研究の推進方策 |
前年度までに得られた結果の、 SL(n,R) (n>3) への拡張を研究する。共役でないカルタン部分群は 1+[n/2] 個ある。まずは、SL(4,R) を扱う。カルタン部分群の階数は、1,2,3であり、階数２、３のカルタン部分群の正則元上の軌道積分が消え、且つユニポテント重み付き軌道積分が消えるような「擬尖点形式」を不変微分作用素のＫタイプ付き“熱核”の交代和を用いて具体的に構成する。前年度と同様に、得られた跡公式の単純化（１型）を用いて素測地線定理を研究する。次に、重み付き軌道積分が生き残る「擬尖点形式」に対して、重み付き軌道積分のフーリエ変換を明示的に計算し、跡公式の単純化（２型）を研究する。得られた跡公式の単純化を用いてセルバーグ型ゼータ関数を定義し、解析的性質や数論的応用を考察する。
余裕があれば、階数１、３のカルタン部分群の正則元上の軌道積分が消える場合や、階数１、２のカルタン部分群の正則元上の軌道積分が消えるような「擬尖点形式」をそれぞれ構成し、跡公式の単純化（１型、２型）を研究し、数論的応用を考察する。
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