| 研究課題/領域番号 |
17K05182
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90224485)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 漸近展開 / ゼータ関数 / 積分変換 |
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| 研究実績の概要 |
研究計画調書，研究目的 A1) に記した，単独の Lerch ゼータ関数に対する Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型や，それらの種々の iteration(s) により生成される積分変換に付随した完全漸近展開について，現在，かなり満足すべき成果が得られており，これらは論文 "Asymptotic expansions for the Laplace-Mellin and Rieman-Liouville transforms for Lerch zeta-functions" として纏められ，欧文学術雑誌に投稿予定である．本研究代表者は，現在，この成果を深化させる方向で，Lerch ゼータ関数の適切な積に対する上記と同様な Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型の積分変換に対して，（展開公式として妥当な形の）完全漸近展開の存在を探索しており，その初期段階の成果に到達している状況にあるため，今後暫くは，主にこの方面の解明に注力する予定である．
また，本研究課題と密接に関連する方向性として，本研究代表者がこれまで手がけてきた種々のゼータ関数に付随する完全漸近展開を「完全漸近展開の生成機序」という観点から総合的・鳥瞰的に捉え直した欧文論文 "Complete asymptotic expansions associated with various zeta-functions" を執筆した．この論文の最終節には，Lerch ゼータ関数の任意の高階導関数に付随する完全漸近展開とその剰余項に対する明示公式についての新知見を述べたが，これらの成果からは Kummer, Lerch の古典的な発見である，対数ガンマ関数やディガンマ関数の単位区間における Fourier 展開公式等を自然な形に導出することも可能である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画調書・研究目的・テーマ A1) に記載の，単独の Lerch ゼータ関数の種々の積分変換に対する完全漸近展開の導出については，現時点迄にほぼ満足できる成果が得られており，現在これらの成果を総括する欧文論文を投稿準備中である．今後は，同項目 A2) に記載した，複素２変数を有する正則・非正則 Eisenstein 級数の Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型を適切に積分変換した対象の完全漸近展開の導出を中心に解明を進める予定であるが，実際にこの方面の解析に着手後の進捗が芳しくないケースが起こり得ることも想定して，テーマ B) に記載の「テータ関数の（加重・多重）平均化」についても同時並行して解明を進める．
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| 今後の研究の推進方策 |
当面の本研究課題の推進の方向としては，研究計画調書・研究目的・テーマ A1) に記載の，Lerch ゼータ関数の適切な積に対する Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型積分変換に付随する完全漸近展開の導出が中心的な課題となるが，ここで得られた知見はさらに，テーマ A2) に記載の，複素２変数を有する正則・非正則 Eisenstein 級数の（加重・多重）平均化の解明に向けての重要な指針を与える可能性が大きいと予想されるため，この方面の研究事実の集積が肝要であろう．なお，前項にも記したとおり，この方面の解明の進捗状況に対応して，適宜，研究計画調書・研究目的・テーマ B) に記載の，「テータ関数の（加重・多重）平均化」についても同時並行的に解析を進めたいと考えている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初想定していなかった大学内業務の発生により，出張計画の一部が遂行できなかったため，当初予算の一部が未使用となったため．本研究課題最終年度の研究経費の使途主要部分は，出張旅費または会議開催費用にて充当する予定である．
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