ゼータ関数・テータ関数の加重・多重平均化―定式化と挙動解明―

2021 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05182
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 慶應義塾大学
• 研究代表者: 桂田 昌紀 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90224485)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: zeta-function / theta function / asymptotic expansion / mean value

研究成果の概要

本研究代表者は，i) Lerch ゼータ関数の主変数 $s$ に関する Laplace-Mellin 型，Riemann-Liouville 型積分変換，及び，それらの適切な iteration(s) に対して，$s$ が扇状領域 $|\arg s|<\pi$ 内を其々 $s\to0$ 及び $s\to\infty$ となるときの完全漸近展開を確立した；ii)一般化正則 Eisenstein 級数に対して，付随するパラメタ $z$ が複素上半平面 $0<\arg z<\pi$ 内を $z\to0$ 及び $z\to i\infty$ となる其々の場合について，完全漸近展開を確立した．

自由記述の分野

解析的整数論

研究成果の学術的意義や社会的意義

i) Lerch ゼータ関数の平均化:ゼータ関数に対する種々の積分変換を考察する研究は，これまでは Laplace 変換や Mellin 変換に関するものが主流であったが，今回，本研究で得られた成果から，新たに Laplace-Mellin 型, Riemann-Liouville 型や，それらの適切な iterations(s) 等の新たなクラスに対しても意義ある結果を導出できることが判明した；
ii) Dirichlet-Hurwitz-Lerch 正則 Eisenstein 級数に付随する漸近展開：表記の漸近展開から，Ramanujan による著名な公式等を含む極めて広範な応用も得られる．