| 研究課題/領域番号 |
17K05184
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 研究分野 |
代数学
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| 研究機関 | 東洋大学 |
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研究代表者 |
小山 信也 東洋大学, 理工学部, 教授 (50225596)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ゼータ関数 / セルバーグ・ゼータ関数 / リーマン予想 / 深リーマン予想 / オイラー積 / 素測地線定理 / 素数定理 |
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| 研究成果の概要 |
以下，セルバーグ・ゼータ関数に対し，極は位数が負の零点とみなし，零点と極を総称して「零点」と呼ぶ．本研究期間全体を通じて得た研究成果は，以下の通りである．（１）フックス群にユニタリ表現を付したセルバーグ・ゼータ関数のオイラー積を，例外固有値に対して明示的に書ける項で割った値は，実部が1/2より大きい領域で収束する．特にセルバーグ1/4固有値予想の仮定の下でユニタリ表現が非自明なときは，実部が1/2より大きい半平面で収束する．（２）前項のオイラー積が収束した値は，セルバーグ・ゼータ関数の解析接続による値と本質的に（明示的に書ける例外固有値の寄与と，符号を除いて）一致する．
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| 自由記述の分野 |
整数論
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
リーマン予想が未解決である理由の一つに，予想の定式化が不十分であるという説が長らく唱えられてきた．深リーマン予想はこれを解消するために2010年代に提唱された予想であり，リーマン予想が成り立つ背景にオイラー積の挙動があると主張している．オイラー積の挙動，特に非自明な表現に対するL関数のオイラー積の臨界領域における収束性が示されれば，リーマン予想を証明でき，さらにその成立理由も解明できる．これまで，標数正の関数体上で深リーマン予想の成立が確かめられてきた．本研究では，フックス群のセルバーグ・ゼータ関数に対し，深リーマン予想に相当する命題を証明した．これは，標数0の場合に初めて得られた結果である．
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