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2020 年度 実績報告書

階層構造付き対称性を持つ多変数保型形式の研究

研究課題

研究課題/領域番号 17K05186
研究機関京都産業大学

研究代表者

村瀬 篤  京都産業大学, 理学部, 教授 (40157772)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワード対称性 / ヤコビ形式 / ベクトル系 / ジーゲル保型形式 / 無限積 / モジュラー曲線
研究実績の概要

今年度は、階層構造付き対称性を持つ2次ジーゲル保型形式の族の研究を行った。ここで、2次ジーゲル保型形式の階層構造付き対称性とは、ジーゲル上半平面の点(虚部が正定値な複素2次対称行列)の2つの対角成分に関する2種のHecke作用素が保型形式の階層構造とcompatibleであることをいう。階層構造付き対称性を持つ2次ジーゲル保型形式の族の各元が正則ならば、それらはすべて無限積を持つ2次ジーゲル保型形式になることを証明した。各無限積は、2次ジーゲル保型形式のフーリエ・ヤコビ展開の最初の2つの項の商の族によって完全に決定される。また、コンピュータによる数値計算を行って、レベル2とレベル3の場合に、青木-伊吹山によって知られている2次ジーゲル保型形式のなす環の生成元について、無限積になるものを新たに見出した。
研究期間全体としては、前年度までに、主として今年度の研究成果の証明のステップに必要となる階層構造付き対称性を持つヤコビ形式の研究を行った。この研究自体も独立した興味がある。以上は、B. Heim氏との共同研究である。なお、この研究の成果をまとめた論文を、現在専門雑誌に投稿中である。
また、関連する数論幾何的テーマとして、階層構造付き対称性を持つ代数曲線が、モジュラー曲線になることを証明した。モジュラー曲線という古くから知られている重要な研究対象の全く新しい特徴付けを与えるものであり、大きな意義がある。この結果は、B. Heim氏、C. Kaiser氏との共同研究である。
符号が(n,2)の直交群上の保型形式の場合に、直交群の構造に関するある予想が証明できれば、階層構造付き対称性と無限積の関係について、2次ジーゲル保型形式の場合とほぼ同様な結果を証明できることを示した(B. Heim氏との共同研究)。
なお、新型コロナウイルスの感染防止のために出張を中止したため、2020年度まで、研究期間を延長した。

  • 研究成果

    (1件)

すべて その他

すべて 国際共同研究 (1件)

  • [国際共同研究] アーヘン工科大学(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      アーヘン工科大学

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公開日: 2021-12-27  

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