ホップ代数から見るスーパー群とスーパー幾何学

2020 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05189
• 研究機関: 筑波大学
• 研究代表者: 増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 教授 (50229366)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: スーパー・ホップ代数 / スーパー代数群 / スーパー・リー群

研究実績の概要

スーパー代数群、スーパー・リー群について、主にホップ代数の手法を用いて研究した。
代数群の概念を同コンテクストにおいて一般化して定義することは容易である。しかし、こうして定義されたスーパー代数群は、通常の代数群とかなり異なった性質をもつことが、さまざまな例から知られている。なかでも際立つ性質として、通常の代数群と異なるスーパー代数群のうち、線形簡約なもの、すなわちその線形表現が完全可約なものが、本質的に一系列に限られることが挙げられる。従ってスーパー代数群の表現論は、ゼロ標数であってもモジュラー表現論の様相を呈す、興味深い研究テーマである。しかしながら最近まで、この表現論は、専ら個々の具体的対象について研究がなされ、一般論の展開が十分でなかった。研究代表者は、ホップ代数の手法を用いてスーパー代数群の一般論を研究してきた。当該研究助成によって、スーパー代数群 G のスーパー閉部分群 H による商スーパー・スキーム G/H を具体的に構成し、これが好ましい性質をもつことを証明した。これによって、ある種のスーパー代数群の表現に関し知られていた事実が、はるかに広範囲のスーパー代数群に関して成り立つことが明らかになった。
スーパー・リー群は、リー群のスーパー対称性のコンテクストにおける一般化で、その研究の歴史は、スーパー代数群のそれよりもはるかに長い。にもかかわらず、上記結果の解析的アナログを辿ることで、スーパー・リー群の等質空間 G/H に関し、新しい結果を得ることができた。

研究成果

• [国際共同研究] Sobolev Institute of Mathematics(ロシア連邦)
  • 国名: ロシア連邦
  • 外国機関名: Sobolev Institute of Mathematics
• [雑誌論文] Geometric construction of quotients in super-symmetry (2021)
  • 著者名/発表者名: Akira Masuoka, Yuta Takahashi
  • 雑誌名: Transformation Groups 巻: 26 ページ: 347-375
  • DOI: 10.1007/s00031-020-09583-3
  • 査読あり
• [雑誌論文] Twisted Forms of differential Lie algebras over C(t) associated with complex simple Lie algebras (2021)
  • 著者名/発表者名: Akira Masuoka, Yuta Shimada
  • 雑誌名: Arnold Mathematical Journal 巻: 7 ページ: 107-134
  • DOI: 10.1007/s40598-020-00155-7
  • 査読あり
• [雑誌論文] Hopf-algebraic techniques applied to super Lie groups over a complete field (2020)
  • 著者名/発表者名: Mitsukazu Hoshi, Akira Masuoka, Yuta Takahashi
  • 雑誌名: Journal of Algebra 巻: 562 ページ: 28-93
  • DOI: 10.1016/j.algebra.2020.06.019
  • 査読あり
• [雑誌論文] On the notion of Krull super-dimension (2020)
  • 著者名/発表者名: Akira Masuoka, Alexadr Zubkov
  • 雑誌名: Journal of Pure and Applied Algebra 巻: 224 ページ: 106245-106274
  • DOI: 10.1016/j.jpaa.2019.106245
  • 査読あり / 国際共著
• [備考] Akira Masuoka
  • URL: https://sites.google.com/site/akira298math/home