| 研究実績の概要 |
この研究では、次元が d の局所（または次数付き）マコーレー環 R において長さ d の自由分解を持つイデアル I が与えられたとき、適当なパラメータ系で生成されるイデアル Q を用いて I の自由分解を変形することにより、イデアル商 I : Q の自由分解となる非輪状複体を構成する方法（これを * 変形という）に注目する。そのような変形を繰り返すことにより、イデアル I の冪乗のサチュレイションやシンボリック冪の研究に応用することが目的である。* 変形の結果として得られる非輪状複体の末尾の準同型写像を制御することが重要になるのだが、その為には、末尾の 2 つの自由加群の基底を適切に表現する必要がある。今年度は d = 3 の場合にこの問題に取り組んでみた。最初に与えられた自由分解の各項の基底と {1, 2, 3} の数字の組み合わせを用いると良いことが分かったので、スペース・モノミアル・カーブを定義するイデアル Pについて具体的な計算を実行してみた結果、変形の繰り返しに耐えうるのではないかと思われる基底の記述法を見出すことができた。2 以上の整数 n に対して P の n 乗の自由分解の末尾にある自由加群は、不定元 A, B, C の n - 2 次単項式全体を添え字の集合とするような基底をもつのだが、その自由分解に * 変形を施して得られる非輪状複体の末尾の自由加群は、n が 3 以上であれば、A, B, C の n - 3 次単項式と {1, 2, 3} を組み合わせて添え字の集合を記述する事が適切であると考えている。当然、もう一度 * 変形を施せば、末尾の自由加群の基底は A, B, C の n - 4 次単項式の部分集合と関係してくるはずである。
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