非輪状複体の変形を用いたイデアル商の計算とその応用

2020 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05192
• 研究機関: 千葉大学
• 研究代表者: 西田 康二 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (60228187)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2022-03-31
• キーワード: 可換環 / シンボリック冪 / シンボリックリース環 / Huneke の判定法

研究実績の概要

この研究では、局所（または次数付き）マコーレー環 R のイデアル I に対して、そのシンボリック冪を効率的に計算する方法を模索する。特に、I が長さ d の自由分解を持つときには、適当なパラメータ系で生成されるイデアル Q を用いて I の自由分解を変形することにより、イデアル商 I : Q の自由分解となる非輪状複体を構成する方法（これを「*変形」という）に注目する。その変形を繰り返すことにより、イデアル I の冪乗のサチュレイションやシンボリック冪の研究に応用することが目的である。また、Huneke の判定法を応用して I のシンボリックリース環のネータ性を考察することも主要なテーマとしている。Huneke の条件をみたす良い元の存在を調べることが鍵となるが、これは代数幾何学と関連する未解決問題に対する環論的アプローチと捉えることができる。
今年度の当初の予定は、射影平面内の有限な点集合 H を定義するイデアル I_H のシンボリック冪を非輪状複体の変形を用いて計算することであったが、それは想定していたよりも非常に難しく、スペース・モノミアル・カーブの解析を通して考察を進めるというアイディアの有効性を再確認する事となった。一方、Huneke の判定法を適用して I_H のシンボリックリース環のネータ性を調べる研究では、より多くの具体例を見出す事ができた。特に、Huneke の条件をみたす元として斉次なものをとれない例が存在することが分かり、今後の研究を進める上で重要な発見であったと感じている。I_H は体上の3変数多項式環 S の斉次イデアルであるが、S を極大斉次イデアル m で局所化した環 S_m に I_H を拡大して環論的な考察を行うことにより、初めて Huneke の条件がみたされていることを確認できる例になっている。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

2020年度は所属研究部門の管理業務に多くの時間を割かねばならず、新型コロナウイルス感染症への対応も相まって十分な研究時間を確保することができなかった。また、対面での研究打合せを行うことができなかったことも大きな障害となった。

今後の研究の推進方策

2021年度は所属研究部門の管理業務が大幅に軽減され、研究時間を十分に確保することが可能になる。前年度に発生した研究の遅滞をなんとか解消したいところではあるが、焦りは禁物であるとも思うので、研究期間の延長も視野に入れ、慎重に研究を進める予定でる。射影平面内の有限な点集合 H を定義するイデアル I_H のシンボリック冪の研究を継続し、特に I_H のシンボリックリース環がネータ環にならないような H の具体例を新たに見つけたいと考えている。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルス感染症の拡大阻止を目的とした移動制限が設けられた為、予定していた出張も中止となり、次年度使用額が生じた。今後、移動制限が解除されれば、研究打合せや情報収集を目的とした出張旅費等で有効に使用する予定である。