| 研究実績の概要 |
R は非負整数で次数付けられた d 次元の可換なCohen-Macaulay環で0次斉次部分 R_0 はArtin局所環とする。本研究では R の斉次イデアル I のシンボリック冪 I^(n) を効率的に計算する方法を模索している。剰余環 R / I の次元が 1 で I を極小（すなわち次元が 1 の）素因子 P で局所化したイデアルが正則列で生成される場合には、通常の冪乗 I^n を含んでいてかつ I^(n) に含まれる斉次イデアル J で depth R / J > 0 である様なものを見つけられれば、J = I^(n) が成り立つ。この研究では、非輪状複体の変形をその作業に応用できることを確かめてきたが、今年度は他のアプローチについても考察し、その成果としてヒルベルト係数を用いた議論も有効であることを見い出した。以下では、R は R_0 上で有限個の1次斉次元で生成され、J は R の斉次イデアルで R / J の次元は r とする。さらに、i は 0 以上 1 以下の自然数とする。このとき、r - i 個の 1 次斉次元 f_1, f_2, ... , f_{r - i} を general にとると、R / J の depth が r - i 以上になる為には、
R / J と R / ((f_1, ... , f_{r - i}) + J)
の第 i ヒルベルト係数が一致することが必要十分であるという事実が新たな知見である。R / I の次元が r で、次元が r - i 以上になる V(I) の任意の元 P による I の局所化が正則列で生成されるという状況では、I^n を含み I^(n) に含まれる様な J に対して、その第 i ヒルベルト係数を調べることにより I^(n) = J となるかどうかを判定することが可能になる。
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