| 研究実績の概要 |
平成29年度は名古屋大学松本拓也氏, 東京都市大学橋本義武氏と共同でパラメータが(p-, p+)（ただしp-, p+は２以上の互いに素な正の整数）を持つA1型拡大W代数の構成とその頂点作用素代数の構造解析を行った。この拡大W代数の構成は、数年前にS.Wood氏と共同で行い、すでに国際数学雑誌に公表されている。しかし、この論文では最も重要な論点であったFrobnus作用素と呼ばれている作用素E, Fの構成が非常に困難なものとなっており、得られた結果を使いW代数の表現論fusion tensor積の決定等、先に進むのが困難であった。
平成29年度は、このE, Fの構成を明確にする事、及びH=[E, F]とおくとき、{E, F, H}が半単純リー環sl2(C)を生成することなどの理論展開を行った。方法は、上記S. Wood氏との共同の仕事と同じでVirasoro代数の自由場表示を用いた。Virasoro Fock加群に関するFelderのSemi-infinite double complexを調べる事だった。
論点は、Virasoro Fock moduleのSocle filtrationを用いてFelder のSemi-infinite double complexにfiltrationを導入し、そのGaraded complexを安定Felder complexと呼んだ。この安定Felder complexの各成分は、中心電荷がB.P.Z.極小係列の値を持つSemi-simple Virasoro moduleとなる。
更に、２つの微分d+, d-は、Graded degreeがマイナス１となる。ここでd+, d-の共役作用素d+*, d-*をVirasoro Fock moduleとVirasoroまつわり作用素d+, d-のMarginal defomationを考え、その１階微分係数としてd+*, d-*を定義する。実際にはもう少し工夫を要するが、ここではそれは省略する。E=d+d+* + d+*d+, F=d-d-* + d-*d-とおくと、これがS.Wood氏との共同論文で導入したFrobnus作用素そのものであることが分かる。H=[E, F]とおくと{E, F, H}は単純リー環sl2(C)を生成することが分かる。この事により、A1型W代数と、その上へのsl2(C)の簡明な定義づけが出来た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成29年度に行ったことは、安定Felder complexの概念を使うことにより、核A1型拡大W代数の構成、その構造解析、及び拡大W代数へのsl2(C)の作用が非常に解明な事として確立したことである。
最も重要なことは、安定Felder complexでの元来存在していたgraded degreeマイナス１の微分に加えてmagical deferlationの１次微分係数としてgraded degreeからの微分を作ることが出来、E, Fをその微分を使って定義すると、E, Fはsl2(C)を生成することであった。H=[E, F]とおくと、{E, F, H}はA1型拡大W代数の頂点作用素代数としてのderivationを与えることが分かる。
この結果は、平成30年3月の数学会において15分講演として発表した。また、本論文を作成中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
A１型拡大W代数の構成とsl2(C)のV.O.A.としての作用が確立した事。また、拡大W代数のsl2(C)作用付き表現空間として安定Felder complexの構造が定まった事。また、安定Felder complexはB.P.Z.双対性を持っており、A1型拡大頂点作用素及びsl2(C)の作用はこのB.P.Z. drahtyと両立して作用する。このことを使って、A1型頂点作用素及びsl2(C)に関するbimodules空間にFusion tensor積を導入する。最も重要なことは、このbraded category内でのrigid objectsを取り出すこと、rigid objectsよりなるbraded monoidal categoryの構造を解析し、その中に１の巾根の有限次元量子群とそのLustigの拡大量子群が隠れていることを明らかにすることである。この事実は共形場理論と１の巾根の量子群に関するKazdan-Lustig対応と呼ばれている。実は、パラメーター (p+, p-)=(p-1), p>1の場合、A1型拡大W代数はtriplet W代数と呼ばれることがある。この場合はすでに永友-土屋の論文で発表しており、上のことはすでに証明を行なっている。また、このtriplet W代数におけるrigid objectsの決定は、すでにS.Wood氏と共同で研究しており、これも国際数学専門雑誌に発表済みである。
平成29年度に我々が得た結果は、上記の次の段階への進展に十分役立つことであると考える。平成30年度、平成31年度はこれらの問題に専念する。共同研究者の名古屋大学の松本拓也氏と共同で行う。
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