| 研究実績の概要 |
与えられた代数多様体の間の射がいつエタールになるかは重要な問題である。Zariski と永田雅宜は、f: X -> Y がネータースキームの間の擬有限な射で、Y が正則、Xが正規で、ある X の閉集合 F でcodim(F,X) ≧ 2 で、f が X - F 上でエタールと仮定すると f がエタールであることを示した。このことは purity of branch locus の名で知られている。今回、この事実は、Y がエクセレントで、ある体 kについて k スキームである、という条件のもとで、f が擬有限という仮定を外すことができた。証明は完備化を経た後、加法群 G_a^n の無限小作用を用いる。この点が体上のスキームであることを仮定せざるを得なかった理由であり、体上ではない場合が課題として残った。
また、R が体 k 上有限生成かつ positively graded な次数付き k 代数で、M と N が R 上有限生成次数付き加群とするときに, M_m と N_m が R_m 同型であれば M と N は R 加群として同型か、という問題について、肯定的であることを示した。より強く, M の m 進完備化と N のそれが R' 上同型であれば M と N が同型であることを示した。ここに m は R の無縁イデアルで, R' は R の m 進完備化である。関連して、M_m が R_m 加群として直既約であれば、M は次数付き R 加群として直既約であることも示した。この事実は次数付き加群を考察する上で、同型の問題が次数付き加群としての問題に還元されることから意味のある主張であると考える。
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