| 研究課題/領域番号 |
17K05211
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
眞田 克典 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50196292)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 代数学 / 環論 / ホッホシルトコホモロジー / リー代数構造 / Gerstenhaber構造 / Batalin-Vilkovisky構造 / ホッホシルト拡大 |
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| 研究実績の概要 |
多元環のホッホシルトコホモロジー環のリー代数構造はGerstenhaber構造とも呼ばれ、それに加え、-1次の作用素（BV作用素）の存在に関する研究が進められてきており、多元環によっては、リー・ブラケットがこの作用素で表現できることが知られている。この構造はBatalin-Vilkovisky構造（BV構造）と呼ばれている。BV 構造は多元環の表現論においてその重要性が認識されてきている。研究の出発点としての対称多元環のホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつことが知られており、次の段階として、その一般化であるフロベニウス多元環のホッホシルトコホモロジー環がBV構造をもつかどうかが問題となる。すでに、中山自己同型が 対角化可能であるフロベニウス多元環に対しては、そのホッホシルト コホモロジー環がBV構造をもつことが示されている。本研究課題の主要な目標は、以上を踏まえて、フロベニウス多元環に対してコホモロジーを全次元に拡張した完備ホッホシルトコホモロジー環における、いわゆる完備BV構造の存在性を研究すること、また具体的でかつ応用上重要なフロベニウス多元環を対象にしてそのBV構造を決定することである。 昨年度に引き続き、臼井智氏（現在 東京理科大学奨励研究員、当時 東京理科理科大学大学院博士後期課程）と板垣智洋氏（高崎経済大学）との共同研究によって、以前から研究を進めてきた中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環にBV作用素が構成できること、および自己移入的中山多元環の具体例に対して、BV作用素を実際に計算し、それを用いたリー・ブラケットの具体計算を行った。これらを論文にまとめ、学術誌に掲載された。また、ホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環およびそのBV構造について、引き続き具体計算も行なって明らかにすることを進めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
完備ホッホシルトコホモロジー環におけるBV構造の研究は、臼井智氏、板垣智洋氏と共同で進めており、Z. Wang氏による特異圏上で定義されるテイトホッホシルトコホモロジーの研究を発展させて、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環に、ホモロジーのコンヌ作用素の拡張としてのBV作用素を構成できるという結果を得ている。同時に、自己移入的中山多元環を例として具体的にBV作用素を求め、リー・ブラケットを計算することもできた。これは学術誌に投稿していたが、当該年度（令和3年）に掲載された。
これらの研究成果は、当該年度はいくつかの国内外の研究集会で発表を行う予定であったが、研究成果の報告が十分できていないと言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
通常のホッホシルトコホモロジーに関しては中山自己同型が対角化可能なフロベニウス多元環に対してBV構造が構成できるという最善の結果を、完備版に拡張できたことは意義ある成果と考えているが、対角化可能ではない中山自己同型をもつフロベニウス多元環に対するBV構造の可能性を今後も引き続き追求したい。また、鯉江秀行氏（神戸市立工業高等専門学校）との研究打ち合わせを行い、ホッホシルト拡大に対してのBV作用素の具体例の研究もさらに進めたい。 また、テイト・ホッホシルトコホモロジーの文脈でのBV構造の理論についてもその背景の十分な理解と拡張を目指したい。同時に、周期性についても臼井智氏からの専門知識の提供を受けて関連性の研究につなげていくことを計画している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2021年度に予定していた国外への研究打ち合わせ、学会発表等を見合わせたため、国外旅費の支出がなかったため次年度使用額が生じた。
(使用計画) 国内で開催される「代数学シンポジウム」、「環論および表現論シンポジウム」などへの旅費の他、講演謝金、学会参加費、本研究課題に関連する書籍および電子機器備品等として使用する計画である。また、国外で開催が予定されている国際研究集会への参加および発表、研究打ち合わせのための旅費や参加費に利用する計画である。
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