| 研究課題/領域番号 |
17K05216
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 2次元特異点 / Brieskorn 完全交叉特異点 |
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| 研究実績の概要 |
2次元正規特異点の不変量の解析において，特異点解消空間のサイクルで定まる可逆イデアル層のコホモロジーの情報が重要になることがある．本研究では，そのようなイデアル層で大域切断により生成されるものの（1次）コホモロジーを研究対象としている．基本的な問題は，特異点解消とその上のイデアル層を動かしたときにコホモロジーの次元の取りうる値を完全にとらえること，与えられたイデアル層の n 個の積のコホモロジーの次元は n の関数として非増加であることが分かったが，次元が最小値を取る最小の n を求めること，などである． 2番目で問題としている整数値は，特異点の局所環の整閉イデアルの不変量である正規節減数（normal reduction number）と同等である．
本年度は，日本大学の渡辺敬一氏と吉田健一氏と次のような共同研究を行った．様々な具体例に対して極大イデアルの正規節減数を計算し，一般の場合には幾何種数を用いた簡潔な評価を与えた．Brieskorn 完全交叉特異点の場合には，正規節減数と極大イデアルに対応するイデアル層の m 個の積のコホモロジーの次元の公式を与えた．さらに，前年度に研究代表者が得た「楕円型特異点の正規節減数は2である」という結果を応用し，楕円型Brieskorn 完全交叉特異点の分類を与え，Brieskorn 完全交叉特異点の場合に正規節減数が2ならば楕円型特異点または2個の例外型になることを示した．その過程で，極大イデアルを表現する特異点解消とその上のサイクルも捉えている．以上の結果をまとめた論文を投稿した．また，対応するコホモロジーの次元が最大（幾何種数）になるような good イデアルの分類に向けて，それを表現する最小の特異点解消空間の幾何学的な特徴づけを行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一般の2次元特異点の正規節減数の評価を与え，Brieskorn 完全交叉特異点の場合に非常に具体的な結果を得ることができた． その過程において，いくつかの計算方法を得るとともに，次に目標とすべき対象も明らかになった．一方で，もう一つの目標であった極大イデアルサイクルの解析については例の検証のみしかできなかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度になかった方向として，特異点解消空間のコホモロジーの次元の取りうる値の決定と極大イデアルサイクルをとらえる研究も行う．また，より一般の擬斉次超曲面特異点および cone 特異点に対してもBrieskorn 完全交叉特異点の場合のように具体的な結果を得たい．そのために渡辺敬一氏と吉田健一氏との研究を継続し，海外の研究者との連携も再開したい．関連する研究集会に参加して新しい知見と研究動向を学びながら研究を進めたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度は大学における業務が多く計画通りに出張できないことがあったため次年度使用額が生じた． 今後，特異点関連の研究集会に参加するためまたは共同研究のための旅費や文献入手のために使用したい．
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