| 研究課題/領域番号 |
17K05216
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 2次元特異点 / 幾何種数 / 正規節減数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は，複素2次元正規特異点の幾何種数と重複度などの基本的な解析的不変量と特異点の性質について考察している．
コホモロジーに関する基本的な問題として，特異点解消とその上のイデアル層を動かしたときにコホモロジーの次元の取りうる値を完全にとらえること，与えられたイデアル層の n 個の積のコホモロジーの次元は n の関数として非増加であることが分かっているが，次元が最小値を取る，またはそれ以降が一定値になる最小の n を求めること，などを考察している． 2番目で問題としている整数値は，特異点の局所環の整閉イデアルの不変量であ
る正規節減数（normal reduction number）と同等である．（ここでは，2種類の正規節減数を考えている．）
本年度は，日本大学の渡辺敬一氏と吉田健一氏と次のような共同研究を行った．まず，最小特異点解消の例外集合が非特異曲線になる場合に，正規節減数の上限を与えた．曲線のゴナリティとの関連も示された．さらに，斉次超曲面特異点に対しては，2種類の正規節減数の値が次数より一つ小さい数に一致することも示した．また，これらの特異点に対して，いくつかの典型的なイデアル層のコホモロジーの次元の公式を与えた．
一方，本研究では，与えられた位相型を実現する複素2次元正規特異点のうち，幾何種数が最大または重複度が最小になるような複素構造の特徴をとらえる研究も行っている．本年度は，極大イデアルサイクルと基本サイクルが一致しない Brieskorn 完全交叉特異点の位相型を一つ固定し，基本的な不変量の取りうる範囲を調べ，極大イデアルサイクルと基本サイクルが同一になる場合や，幾何種数が最大になる複素構造について解析した．特に，その位相型はウェイトタイプが異なる2種類の完全交叉特異点の構造を許容することが分かった．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度は，Brieskorn 完全交叉特異点の極大イデアルに対応する正規節減数の公式を得て，応用として楕円型Brieskorn 完全交叉特異点を分類した．本年度は，その精密化を図り，斉次超曲面特異点の正規節減数を完全にとらえることが出来た．また，Brieskorn 完全交叉特異点の位相型を一つ固定して不変量の解析を行ったが，そこで用いた方法の一般には至らなかった．また，極大イデアルサイクルの最小性と，幾何種数の最大性の関連性については不明な点が多い．以上は今後の課題である．
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| 今後の研究の推進方策 |
まず，本年に得られた結果の一般化や精密化を進めたい．最小特異点解消の例外集合が非特異曲線になる場合の正規節減数に関しては，すでに得られている上限に一致する特異点の特徴をとらえること，「非特異」性を仮定しない場合への一般化について研究を進める．また，極大イデアルサイクルの最小性と，幾何種数の最大性の関連性について研究を進め，可能であれば特徴のある複素構造をとらえたい．一方，極大イデアルサイクルが最大になる場合の研究を開始したい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
前年度は大学における業務が多く計画通りに出張できないことがあったために本年度使用額に追加が生じたが，本年度はおおむね計画通りに進めることが出来た．次年度は，複数の研究発表の予定がすでに決まっている．今後も特異点関連の研究集会への参加または共同研究の実施のための旅費や文献入手のために有効に使用したい．
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