| 研究課題/領域番号 |
17K05216
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| 研究機関 | 山形大学 |
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研究代表者 |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 2次元特異点 / 幾何種数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究では，2次元正規特異点の幾何種数などの基本的な解析的不変量を通して特異点の構造について考察する．2次元特異点の不変量の研究においては，特異点解消空間とその例外集合のトポロジーおよびサイクルのイデアル層のコホモロジーから情報を取り出すことが重要である．
これまでに，日本大学の渡辺敬一氏と吉田健一氏との共同研究において，正規節減数（normal reduction number）を導入しその基本的性質を考察し，有理特異点の局所環のイデアルの一般化である幾何種数イデアルの基礎理論を整備してきた．それらの研究に関連し，本年度は非特異曲線を例外集合に持つ錘型特異点 (cone-like singularity) の正規節減数の計算に関する興味ある新たな具体例を発見した．その例を拡張し一般化することが今後の課題になる．さらに，イタリアの Maria Evelina Rossi 氏も加えた共同研究において，楕円型イデアルおよび強楕円型イデアルを導入して様々な特徴づけを与えるとともに，基本的性質を考察した．その概念は幾何種数イデアルの自然な楕円版であるといえる．さらに，強楕円型イデアルの存在条件，それを満たす例および満たさない例を与えた．これらの結果は，正規節減数によって楕円型特異点の特徴づけが可能であるかという問題の解決に有効であると思われる．
一方，前年度から継続している Brieskorn 完全交叉特異点の位相型を固定して解析的不変量と複素構造を調べる研究においては，ある例において極大イデアルサイクルが最小となるような擬斉次特異点を分類し具体的に構造を与えた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2次元正規特異点の正規節減数の観点からの研究について，楕円型イデアルの概念を導入し基本性質を調べるとともに，正規節減数をとらえることのできる新たな例の発見により，これらの理論はさらに発展させることが可能であると分かった．Brieskorn 完全交叉特異点の位相型を固定して解析的不変量と複素構造を調べる研究では，まだ特殊な場合を理解しただけなので，それをより一般の特異点に拡張しなくてはならない．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度までに得られた結果の一般化や精密化を進めたい．まず，錘型特異点の正規節減数の計算に関する新たな例を発見し，正規節減数の公式をより広い範囲の特異点に対して与えること，正規節減数と幾何学的性質の関連をより詳しくとらえることを目標とする．正規節減数によって楕円型特異点の特徴づけが可能であるかという問題についても考察したい． さらに，位相型を固定して解析的不変量と複素構造を調べる研究については，Brieskorn 完全交叉特異点を対象にした方法をより広いクラスの特異点に広げていく．極大イデアルサイクルの最小性以外にも，幾何種数や正規節減数が上限に一致するような特異点の構造についても考察する．これらの研究を引き続き渡辺氏と吉田氏と共に進め，ヨーロッパの研究者との連携も継続したい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
対面による研究集会のへの参加に備えていたが，その機会がなかった．
次年度も対面による研究成果の発表と共同研究活動の可能性を考慮しつつ，例の計算のための計算機や必要な文献を入手する．
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