| 研究実績の概要 |
四元数的正則幾何を用いて, 極小曲面のミュー・ダルブー変換による変換前後の対応について明らかにした。四次元ユークリッド空間内の曲面の四元数的正則幾何の一部をクリフォード代数を用いて高次元化した。ここで,二次元リーマン多様体から四次元ユークリッド空間への等長はめ込みの, 四元数の結合的多元体の構造を用いての特徴づけの, 二次元リーマン多様体からn次元ユークリッド空間への等長はめ込みの, n次元ユークリッド空間のクリフォード代数の構造を用いての特徴づけへの拡張を行なった. これを用いて, n次元ユークリッド空間内の曲面の表現公式を得た. 一方で, Lawsonによる三次元球面内の極小曲面に対するpolar varietyとbipolar surfaceの定義を曲面の変換の文脈で解釈できることを発見した。この解釈を用いて, 二次元リーマン多様体からn次元球面内への等長はめ込みに対してpolar varietyとbipolar surfaceに対応する曲面を定義することに成功した。さらに元の等長はめ込みが極小曲面であるとき, polar varietyとbipoloar surfaceは極小となることを示し, polar varietyの特異点と元の等長はめ込みの曲率のと関係を明らかにした. この内容を, 定義域がケーラー多様体である場合への拡張を試み, 等長はめ込みが満たすべき偏微分方程式系を得た. また, 値域がリー群の場合への拡張を試み, 特殊直交群への等長はめ込みの満たすべき方程式について考察した.
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