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2017 年度 実施状況報告書

様々な空間の中の曲面上の主分布

研究課題

研究課題/領域番号 17K05221
研究機関熊本大学

研究代表者

安藤 直也  熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (50359965)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2021-03-31
キーワードHopf4次微分 / (-k)-写像 / 正則はめこみ
研究実績の概要

平坦な擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面について調べた。このような曲面上にはある正則4次微分(以下、Hopf4次微分と呼ぶ)を定義できる。空間が4次元Euclid空間である場合、Hopf4次微分が恒等的に零であることと曲面が等方的極小であることは同値である。
今回の研究では、冒頭のような曲面の(-1)-写像というものを定義した。空間の次元をn+2とするとき、(-1)-写像はn次元複素数空間への正則写像である。そしてHopf4次微分が恒等的に零であることと(-1)-写像がある複素2次超曲面に値をとることは同値であることを示した。(-1)-写像がこの条件を満たしかつ恒等的に零でないときに、(-1)-写像から(-2)-写像という(n-2)次元複素数空間への正則写像を定義した。やり方としては同様で、(-k)-写像というものから(-k-1)-写像というものを定義した。(-k)-写像は(n+2-2k)次元複素数空間への正則写像である。
今回の主定理はRiemann面Mの正則はめこみおよびその類似物の特徴づけを与える。FをMの平坦な(n+2)次元擬Riemann空間型への平均曲率ベクトルが零である空間的はめこみとする。Kを(n+1)/2を超えない整数の最大値とする。このときFの(-1)-写像から(-K+1)-写像のいずれかが恒等的に零であるまたは(-K)-写像がある複素2次超曲面(実際には曲線または零元のみ)に値をとることとFと空間の等長変換との合成がF=(F_+, F_0, F_-)または(F_+, F_0, F_-, 0)と表されることは同値であることを示した、但しF_+、F_-はいずれもある次元の複素数空間への正則写像で、F_0は光的法ベクトルにM上の調和関数を掛けたものの組で与えられる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面をこの上のHopf4次微分の観点で調べることは本研究課題の特色である。上述のような研究成果が得られたことによりHopf4次微分についての理解が深まったことには大変満足しているが、一方で今回の研究成果は当初予期していたものではないため、現時点ではおおむね順調に進展しているという評価が適切であると考えている。

今後の研究の推進方策

上述の研究成果に基づいて、擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面をこの上のHopf4次微分の観点で調べることをさらに推し進めたい。本研究課題においては空間の次元は主に3および4を考えていたが、こうした次元の制約をしないで得られる結果を今後はもっと意識したい。また本研究課題では曲面上に現れる過剰決定系も研究対象であるが、空間の次元を一般にしてそしてHopf4次微分と関連づけて調べたい。当初想定していた論点の解決だけではなくそれらを含む体系的な理解に到達することを目指したい。

次年度使用額が生じた理由

当該年度中に物品費および旅費にほぼ使用できたが、残額を使い切るよりも次年度の金額と合わせて使用した方が有効に使えると判断したため、次年度使用額が生じた。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件) 学会発表 (4件) (うち国際学会 1件、 招待講演 3件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Over-determined systems in relation to principal curvatures2017

    • 著者名/発表者名
      Naoya Ando
    • 雑誌名

      Journal of Geometry

      巻: 108 ページ: 355-373

    • DOI

      10.1007/s00022-016-0343-1

    • 査読あり
  • [雑誌論文] C^1-umbilics with arbitrarily high indices2017

    • 著者名/発表者名
      Naoya Ando, Toshifumi Fujiyama and Masaaki Umehara
    • 雑誌名

      Pacific Journal of Mathematics

      巻: 288 ページ: 1-26

    • DOI

      10.2140/pjm.2017.288.1

    • 査読あり
  • [学会発表] Euclid空間内の極小曲面、Gauss写像および正則4次微分 (Minimal surfaces in Euclidean spaces, the Gauss maps and holomorphic quartic differentials)2018

    • 著者名/発表者名
      安藤直也 (Naoya Ando)
    • 学会等名
      アクセサリー・パラメーター研究会 (Workshop on Accessory parameters at Kumamoto)
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Euclid空間内の部分多様体の反転による像のコンパクト化について2018

    • 著者名/発表者名
      安藤直也
    • 学会等名
      榎本一之教授退職直前ワークショップ
    • 招待講演
  • [学会発表] 様々な4次元空間内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面2017

    • 著者名/発表者名
      安藤直也
    • 学会等名
      RIMS研究集会「部分多様体論の潮流」
    • 招待講演
  • [学会発表] 擬Riemann空間型内の平均曲率ベクトルが零である空間的曲面2017

    • 著者名/発表者名
      安藤直也
    • 学会等名
      2017年度福岡大学微分幾何研究集会
  • [備考] 安藤直也のホームページ

    • URL

      http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ando/index-j.html

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公開日: 2018-12-17  

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