| 研究課題/領域番号 |
17K05223
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| 研究機関 | 首都大学東京 |
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研究代表者 |
酒井 高司 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (30381445)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 対称空間 / 対称対 / s多様体 / 旗多様体 / 対蹠集合 |
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| 研究実績の概要 |
リーマン対称空間は各点において測地線を反転させる点対称が存在するリーマン多様体として古くから研究が行われ，リーマン幾何学において重要な対象となっている．我々は，対称空間の点対称がなす代数的な構造を一般化することによって，各点xにおいて群Γと同型な対称変換群をもち，点xがxにおける対称変換群の孤立固定点となる多様体として一般化されたs多様体を定義した．我々の定義による一般化されたs多様体はLedger-ObataおよびKowalskiらにより研究された正則s多様体の拡張になり，特にΓ=Z_2のとき従来の対称空間であり，Γ=Z_kのときk対称空間になる．
Chen-NaganoはコンパクトRiemann対称空間に対して，点対称の固定点集合を用いて極地と対蹠集合の概念を導入し，対蹠集合の濃度の上限として2-numberと呼ばれる幾何学的不変量を定義した．特に，対称R空間の2-numberがZ_2係数ホモロジー群の次元と一致することがTakeuchiにより示されている．一般化されたs多様体Mの各点xにおける対称変換群はその点xを孤立固定点にもつため，コンパクト対称空間の場合と同様にして極地と対蹠集合を定義することができる．定義から対蹠集合はMの離散部分集合になり，対蹠集合の濃度の上限として定まるMの幾何学的不変量を対蹠数と呼ぶ．
ベクトル空間の部分空間のなす旗多様体はGrassmann多様体上のファイブレーションの構造からΓ=(Z_2)^rとしたときの一般化されたs多様体の構造が定まる．我々は，旗多様体の極大対蹠集合の合同類を決定し，対蹠数を求めた．これにより，旗多様体の対蹠数がZ_2係数ホモロジー群の次元と一致することが分かった．特に，複素ベクトル空間の部分空間のなす複素旗多様体は，特殊ユニタリ群SU(n)の随伴軌道として実現することができ，このとき極大対蹠集合はSU(n)のWeyl群の軌道と一致する．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
複素旗多様体内の２つの実形の交叉の対蹠性とFloerホモロジーに関する研究について，井川治氏（京都工芸繊維大学），入江博氏（茨城大学），奥田隆幸氏（広島大学），田崎博之氏（筑波大学）との共著論文の執筆を進めた．この研究内容に関して，2018年9月に東京理科大学森戸記念館にて開催された研究集会「部分多様体幾何とリー群作用2018」において講演を行い，記録集原稿を執筆した．
対称空間の拡張として，一般化されたs多様体を定義した．さらに，コンパクト対称空間の極地と対蹠集合の概念を一般化されたs多様体に対して拡張し，その基本的な性質を調べた．具体例として，旗多様体上にΓ=(Z_2)^rとしたときの一般化されたs多様体の構造を考え，その極大対蹠集合の合同類を決定することができた．この研究成果については2018年9月に岡山大学で開催された日本数学会2018年度秋季総合分科会において研究発表を行い，2018年10月にソウルCOEXにて開催された2018 Joint Meeting of the Korean Mathematical Society and the German Mathematical Societyおよび2019年3月にハワイ大学マノアにて開催されたAMS Sectional Meetingの２回の国際会議でも講演を行った．
本研究課題において，Hojoo Lee氏（Seoul National University）を2019年2月8日（金）～2月13日（水）の期間に首都大学東京に招聘し，極小部分多様体に関する共同研究を行った．
2018年11月29日(木)から12月1日(土)にかけて研究集会「部分多様体論・湯沢2018」を開催した．また，2019年2月23日（土）に首都大学秋葉原サテライトキャンパスにおいて第18回秋葉原微分幾何セミナーを開催した．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究において，対称空間の拡張概念として一般化されたs多様体の定義を与えた．今後の研究計画として，一般化されたs多様体の基礎理論の研究を進める．古典的な対称空間の理論および，正則s多様体の理論が一般化されたs多様体に対してどのように拡張されるか検討を行う．また，一般化されたs多様体の中でΓ対称空間を特徴付ける条件を調べる．Γ対称空間および一般化されたs多様体について，適切な設定の下での分類問題を検討する．また，コンパクト対称空間におけるChen-Nagano理論に関して，一般化されたs多様体の場合への拡張について検討を行う．
一般化されたs多様体の極地と極大対蹠集合の構造に関して研究を行う計画である．可換なコンパクト対称三対から，Γ=Z_2×Z_2の一般化されたs多様体が得られる．これらZ_2×Z_2対称空間の対蹠集合について詳しい研究を行う．Z_2×Z_2対称空間はコンパクト対称空間上の２つのファイブレーションの構造をもつ．これらのファイブレーションの構造を利用して，底空間となるコンパクト対称空間の対蹠集合とZ_2×Z_2対称空間の対蹠集合の関係性について調べる．また，群Γが非可換群である場合の具体例の構成，およびそれらの極大対蹠集合を具体的に調べる．さらに，一般化されたs多様体の対蹠数の幾何学的意味について調べる．特に，トポロジーおよび組み合せ論との関係について検討する．
2019年4月から9月までの6カ月間、アウグスブルク大学（ドイツ）に研究滞在する．滞在中にアウグスブルク大学の研究者たちとこれらの研究課題について国際共同研究を行う計画である．
秋葉原微分幾何セミナーおよび研究集会「部分多様体論・湯沢2019」を開催する計画である．これらのセミナー・研究集会において関連する研究者たちと議論と情報交換を行い，研究課題を推進する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2018年10月にソウルCOEXにて開催された2018 Joint Meeting of the Korean Mathematical Society and the German Mathematical Societyに参加した際に，滞在費の補助を受けることができた．また，2018年11月29日(木)から12月1日(土)にかけて研究集会「部分多様体論・湯沢2018」を開催した．今年度の研究集会では旅費の支援を必要とする参加者が少なかったため，繰越金が生じた．
2019年度の前期にアウグスブルク大学（ドイツ）に研究滞在する．繰り越した研究費は，長期海外出張の旅費として使用する他，研究集会「部分多様体論・湯沢2019」の開催資金として使用する計画である．
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