| 研究課題/領域番号 |
17K05230
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / モジュライ空間 / 表現論 / 正則写像 |
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| 研究実績の概要 |
まず、複素射影直線から複素ベクトル空間の2次元部分空間からなる複素グラスマン多様体への同変調和写像の分類を試みた。この問題は、写像の同変性からある条件を満たす群の軌道の分類に帰着されるので、この観点からの先行研究がいくつか存在していた。しかしグラスマン多様体の階数が高い場合には、組み合わせの問題が複雑になり、分類が完成されていなかった。そこで、前年度までに研究代表者が発展させた理論を用いるために、ベクトル束に注目し、複素射影直線上の階数2のベクトル束の不変接続の分類に問題を帰着させることに成功した。なお、同変調和写像の特別な場合である同変正則写像の分類はすでに完成させていたので、この事実も本研究の動機付けとなった。しかしながら正則写像の場合は接続の平均曲率作用素と写像の平均曲率作用素が一致するので議論の簡易化に成功したが、調和写像ではこの事実は成立しない。そこで、引き戻し接続がYang-Mill接続であるという条件を課すことにした。写像の次数が奇数の場合にはそのモジュライ空間は、次数が一致するYang-Mills接続のゲージ同値類によるモジュライ空間と同一視することができる。一方、次数が偶数の場合には写像のモジュライ空間は次数が一致するYang-Mills接続のゲージ同値類によるモジュライ空間上のファイバーが閉区間[0,1]であるファイバー束の構造をもつことがわかった。
また、複素射影空間から複素二次超曲面へのEinstein-Hermite調和写像に関してもその分類を完成させた。この結果、写像の次数を固定するとEinstein-Hermite調和写像のモジュライ空間と同じ次数の正則等長写像のモジュライ空間が微分位相同型であることを示すことに成功した。この場合も研究代表者によるゲージ理論的考察に基づく写像のモジュライ空間の記述から、微分同相写像を構成できることが鍵となった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究代表者によるゲージ理論的観点に基づくグラスマン多様体への調和写像の理論の有効性を確かめること、特にこれまでの先行研究との比較をするために、理論の適用範囲を見極めることは重要であると考えられる。そこで、本理論により先行結果を再証明し、より本質を理解した上での再検証も行ってきたが、やはり従来の研究では結果が得られていなかった部分に焦点をあて、掘り下げて結果を出していくことは本理論の有効性を示す最重要課題であると考えている。
また、複素射影直線からグラスマン多様体への調和写像の理論では、グラスマン多様体が球面や複素射影空間などの階数１の場合には十分な理論が出来上がっていると言えるが、階数が高い場合には散発的な結果やグラスマン多様体の次元が低い場合に限定された結果が主であり、グラスマン多様体が階数1の場合に有効であった手法、技術では限界を迎えつつあったということが出来る。
この状況において、まずは階数が２のグラスマン多様体の場合でも本理論は有効であり、満足な結果を得られることが示せたことは研究の順調さを示しているように思われる。また、その結果もグラスマン多様体が階数１の場合とは異なり、0次元ではないモジュライ空間が出現し、写像のモジュライ空間がベクトル束の接続のモジュライ空間とも関係があることを示すことが出来た点において、よりグラスマン多様体への調和写像の理論を深化させたように思えるからである。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き、複素射影直線を定義域とするグラスマン多様体への調和写像のモジュライ空間の幾何学を主な対象として研究を続けていくつもりである。モジュライ空間に現れる調和写像の幾何学的性質などにも注目していきたい。
次に、終域が球面や複素射影空間である調和写像の場合には主に定エネルギー密度関数をもつ調和写像が議論されてきたが、これらは本理論の用語ではEinstein-Hermite調和写像と言われる写像に当たっている。ところが、終域の階数が高い場合にはEinstein-Hermiteでない調和写像も、等長写像として現れることがあり、様相が複雑であることがうかがわれる。したがって、適切な概念を用意し、調和写像のもつ複雑さの階層を見極め、理論を進めていきたいと考えている。
また、定義域を種数の高いリーマン面や、次元の高いリーマン多様体へと拡張し、これまでの研究との類似点、相違点を考察することによっても理論を深めていきたいと思っている。
今後も具体的な場合を中心に考察を進め、一般論として構築するために必要な概念を見出していくという姿勢で研究に臨みたいと考えている。特にグラスマン多様体上の不変商束
の標準接続の調和写像による引き戻しとして許容される接続の性質にも注目するつもりである。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
共同研究者が九州大学、久留米高専にいる関係で、出張のために航空機を使用する機会が多く、その際できるだけ旅費を抑えたために次年度使用額が生じた。今後も九州大学をはじめ共同研究者が海外にもいる関係から、助成金を主に出張旅費として使用したいと考えている。
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