2020 年度実施状況報告書

ゲージ理論による調和写像の研究

研究課題

研究課題/領域番号	17K05230
研究機関	明治大学
研究代表者	長友康行明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)
研究期間 (年度)	2017-04-01 – 2022-03-31
キーワード	ベクトル束 / グラスマン多様体 / 調和写像 / 正則写像 / ゲージ理論
研究実績の概要	今年度は、グラスマン多様体への調和写像に関する高橋の定理の一般化を基礎とした理論、グラスマン多様体への全測地的部分多様体の理論、およびケーラー構造を持つグラスマン多様体（複素グラスマン多様体と複素2次超曲面）への正則写像に関する理論をまとめた3編の論文を作成し、投稿した。また、ケーラー構造を持つグラスマン多様体の内、複素2次超曲面に対して上記の論文で得た一般論を適用することにより、複素射影空間から複素2次超曲面への正則等長写像の分類に成功した。この分類は、以前に行った複素射影直線から複素2次超曲面への正則等長写像の分類の一般化となっている。一般論を構築したことにより、複素射影直線の場合に行った個別の考察が不要となり、議論の大幅な簡約化を達成できた。これはより本質的な議論が展開できたことを意味している。また、偏微分方程式により定義された幾何学的対象の、代数的な議論による存在証明や、それらを具体的に構成する際にも、複素2次超曲面が実グラスマン多様体であることから、これまではリー群の実表現が議論に必要であると認識されていた。しかし、一般論により、複素表現を考察すれば十分であることが導かれるので、一般論が議論を大幅に見通しの良いものとすることに貢献したということが出来る。なお、この結果に関しては現在論文をほぼ作成し終えたところである。最後にコンパクト型の既約エルミート対称空間から複素グラスマン多様体への正則全測地的埋め込みの分類に成功した。これは、より大きな理論の一部として得られた結果であり、その理論にはまだ発展の余地があると思われる。ただし、上記したグラスマン多様体への全測地的部分多様体の理論が重要な役割を果たし、ベクトル束の微分幾何学がグラスマン多様体への写像の微分幾何学には欠かせないものであることが、豊富な結果により示されつつあると思われる。
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由リーマン多様体からグラスマン多様体への調和写像に関する微分幾何学では、高橋恒郎の定理の一般化に始まり、do Carmo-Wallach理論の一般化をも達成し、調和写像のモジュライ空間の構造の解明に、ベクトル束の果たす役割を明確にできたと言える。また、これらの理論の具体的な例への応用も多数得られた。高橋の定理やdo Carmo-Wallach理論が長期間にわたって一般化されなかったことを考慮すると、一般的な結果はもとより、個々の具体的な研究においても成果を出すのは困難であると予想していたが、ベクトル束の幾何学を加味することにより、この状況を打破できたことは本研究課題が順調に進展していることを示していると思われる。また、Calabiの剛性定理のベクトル束とその接続に注目した一般化もdo Carmo-Wallach理論の一般化により達成できたが、この応用例を考察することもできた。剛性定理の一般化の定式化においては、従来の観点からはそれが一般化と言えるのかどうかも理解されるのに時間がかかると思われるが、上記した応用例は本研究課題が提示した観点が本質的であることを証明していると期待している。ここでも接ベクトル束以外のベクトル束と接続を理論に組み入れることが重要となっている。また、先行研究においては、定義域となるリーマン多様体が実2次元である場合の結果がほとんどであったが、これは定義域が実2次元のときのみに通用する理論が存在したためであった。しかし本研究課題で得られた理論は、定義域の次元にとらわれることなく展開可能なため、次元の高い複素射影空間から複素2次超曲面への正則等長写像の分類も得ることが出来た。この結果も本研究課題の進展を如実に示していると言える。また、これらの成果を順次論文として発表していることも、順調な進展の理由となるであろう。
今後の研究の推進方策	今後も、高橋恒郎の定理の一般化、do Carmo-Wallachの理論の一般化による調和写像の研究を推進する予定である。とくに、正則写像に関するCalabiの剛性定理の一般化から得られると予想される、複素グラスマン多様体への正則等長写像に注目したい。これは複素射影空間への正則等長写像に関しては優れた研究が多数存在するのに対して、複素グラスマン多様体への正則写像の研究が少ないためである。ベクトル束に注目することにより、写像に課すことのできる条件が格段に増えるので、この研究課題は有望であると思われる。また、ベクトル束にはHermitian-Yang-Mills接続に代表される特殊な接続を許容するベクトル束が存在するが、これらと正則写像、調和写像の関係を見出したい。
次年度使用額が生じた理由	コロナ禍のため、計画していた共同研究が行えなくなり、旅費、人件費・謝金が計画と異なったためである。引き続き、共同研究を実施するために使用したいと考えている。これはオンラインでの研究等を推進するための物品費を含んでいる。