2017 年度実施状況報告書

ラグランジュ平均曲率流とシンプレクティック幾何

研究課題

研究課題/領域番号	17K05231
研究機関	明治大学
研究代表者	今野宏明治大学, 理工学部, 専任教授 (20254138)
研究期間 (年度)	2017-04-01 – 2022-03-31
キーワード	平均曲率流 / ラグランジュ部分多様体 / モーメント写像
研究実績の概要	平均曲率流とは，リーマン多様体 M の部分多様体 L を，その体積が最も効率よく減少する方向に変形する部分多様体の変形族であり，多様体上の非線形偏微分方程式の解として表される．これらの性質について，L が Mの超曲面である場合，すなわち余次元１の場合に多くのことが知られているが，余次元が高い場合にはさまざまな技術的な困難があり，この方向での研究の進展が期待されている．M がケーラーアインシュタイン多様体で L がラグランジュ部分多様体であるとき，L を平均曲率流で変形しても，ラグランジュ部分多様体であるという性質は保たれることが知られている．したがって，このラグランジュ平均曲率流は，余次元が高いときに平均曲率流が有効に機能する場として期待される．平均曲率流は一般には有限時間内で特異点を生じるため，その特異点の様子を理解すること，そして特異点を通過して平均曲率流が延びる際に生じるラグランジュ部分多様体の位相の変化の様子を理解することが重要である．前年度に，その実例を組織的に構成する方法を提示した．これは，リッチ平坦なケーラーアインシュタイン多様体に可換アーベル群が作用しており，この群作用の軌道と直交する特殊ラグランジュ多様体があるとき，ラグランジュ平均曲率流の具体例を，群作用のモーメント写像を用いて構成する，というものである．この例では，平均曲率流の特異点も現れ，それに伴うラグランジュ部分多様体の位相の変化の現象も観察される．本年度は，この位相の変化を含む我々の構成した平均曲率流のある例が，解析的にはBrakke流と呼ばれる平均曲率流の弱解であることを考察した．そして，前年度までの結果と併せて論文として出版することができた．また，上記の構成法を用いていくつかの例を構成してその性質を調べた．
現在までの達成度 (区分)	現在までの達成度 (区分) 2: おおむね順調に進展している理由ラグランジュ平均曲率流の研究を目指しているが，対象を自分自身の方法で理解するためには，やはり豊富な実例が必要であった．これまでは，ユークリッド空間内のソリトン解のいくつかが具体的な解として構成されていた．また，解析的な存在定理として，解がいかにも存在しそうな状況で，実際に解の存在が保証される，等が知られていた．前年度において我々は組織的に平均曲率流の例を構成する方法を提示した．今まで知られていたユークリッド空間内のソリトン解の例の多くは，我々が構成した例としても実現される．しかも，平坦でないリッチ平坦ケーラー多様体におけるラグランジュ平均曲率流で位相の変化を伴うような具体例は，我々が構成する以前は知られていない．そして，今年度は，我々が提示したラグランジュ平均曲率流の具体例の構成方法の可能性を探ることが大きなテーマになった．今まで知られていたユークリッド空間内のソリトン解の例で，我々の構成した例として実現されないようなものがいくつか存在することがわかったが，このような例の重要性を認識するに至った．また，Joyceは特殊ラグランジュ部分多様体の例のさまざまな構成法の提示したが，我々の例の構成方法はJoyceの構成法のひとつ一般化と理解することができるだけでなく，Joyceによる別の構成法についても統一的な視点を与えることがわかってきた．まだ，決定的な結果を得るには至っていないが，我々が提示したラグランジュ平均曲率流の具体例を構成する方法を通して，既存の結果に対しても新しい見方を得るなど，着実に理解は深まっていると思われる．
今後の研究の推進方策	引き続き，我々が提示したラグランジュ平均曲率流の具体例の構成方法の可能性を探る．特に，II型の特異点の具体例を構成することは，重要な目的のひとつである．これについては，初期データの特殊ラグランジュ部分多様体が特異点を持つ場合を考えることが興味深いと思われる．また，この方法では実現できない既存のソリトン解を，この構成方法を拡張することにより理解することを目指す．一方，最近の1，2年の間に余次元の高い平均曲率流について新しい展開があったので，これを発展させてゆきたい．ひとつは，Halilaj-Smoczykによるラグランジュ平均曲率流のII型の特異点の具体例の構成とその解析である．彼らの例と我々のラグランジュ平均曲率流の構成方法との関連を調べることにより，我々の構成方法をさらに拡張したいと考えている．ふたつめは，Tsai-Wangによる部分多様体の強安定性という概念で，平均曲率流が収束するためのよい幾何的条件を与えている．この概念をHaozhao Liのラグランジュ平均曲率流の収束条件との関係を明らかにすることは重要と思われる．３つめは，Chen-Maによるジェネリックなラグランジュ平均曲率流の研究である．ラグランジュ平均曲率流におけるジェネリックなII型の特異点の概念を作ること，これとの関連でジェネリックなラグランジュ平均曲率流を理解することが重要と思われる．Chen-Maの研究は4次元の場合であるが，これを高次元化することは大変重要であると思われる．最後にPalmer-Woodwardがラグランジュ部分多様体のFloer理論における非障害性とラグランジュ平均曲率流の特異点の有無との関連について指摘しているが，この方向への発展は中長期的には極めて重要になると思われる．以上４つの仕事は互いに密接に関係しており，総合的に理解を深めて発展させてゆくことが必要となる．
次年度使用額が生じた理由	おおむね予定通りに研究活動を行い，研究費を使用させていただいたと考えている．ただし，例年出張している研究会の開催場所が東京になったために旅費がかからなかったことや，発注済の書籍の納品の時期が遅れ，納品，支払いが次年度に回される，といった事案のため，若干の残高が生じた．