| 研究課題/領域番号 |
17K05231
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
今野 宏 明治大学, 理工学部, 専任教授 (20254138)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | 平均曲率流 / リッチ平坦ケーラー多様体 / ラグランジュ部分多様体 |
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| 研究実績の概要 |
リーマン多様体の部分多様体が与えられたとき，その体積が最も効率よく減少する方向に変形する部分多様体の変形族を平均曲率流という．とくに，カラビ・ヤウ多様体やハイパーケーラーにおいては，平均曲率流はラグランジュ部分多様体という性質を保存するため，ラグランジュ部分多様体から出発する平均曲率流は，特殊ラグランジュ部分多様体と呼ばれる特別な極小部分多様体に収束することが期待される．けれども，多くの場合，平均曲率流は時間有限で特異点をもつことが知られており，ラグランジュ平均曲率流の解の挙動を具体的に調べることは非常に難しい．また，ラグランジュ部分多様体の安定性という概念が定義されて，ラグランジュ平均曲率流の解の挙動はこの安定性と関連することが期待されている．
近年，ロテイとオリベイラは，４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流を具体的に観察できる例を与え，ラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性の関連性を指摘した．けれども，ラグランジュ部分多様体の安定性については，その厳密な定式化を含め，性質が十分に理解されていないため，多くのことはわかっていない．ラグランジュ部分多様体の安定性の概念のミラー多様体における対応物と期待される変形ヤンミルズ接続に関する安定性の概念については，近年理解が進んでいるので，双方の関係を考察することにより，ラグランジュ部分多様体の安定性の概念を理解しようと考えた．今年度は，ミラー多様体の構成，特にラグランジュファイブレーションの双対ファイブレーションと，その量子補正を考慮した貼り合わせにより，ミラー多様体を構成すること，さらに，トーリックハイパーケーラー多様体とそのミラーについて理解を深めたが，まだ決定的な結果は得られていない．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究計画が遅れている最大の要因は，研究代表者は2019年度，2020年度に本務校である明治大学理工学部を運営するスタッフの一員であったことである．初年度の2019年度は，学部運営の諸問題を理解するために多くの時間が費やされ，２年目の2020年度は，前代未聞のコロナウイルス感染症が広まり，学部としてのコロナ対策を検討，実施するために，多大な時間を必要とした.このため，研究時間の確保が極めて困難であった．
数学サイドでの要因は，ラグランジュ部分多様体の安定性についての研究が，研究代表者のみならず他の研究者においても，期待していたほど進展がなかったことにある．これについては，研究計画の変更の必要性を検討したが，そのようなときに，ロテイとオリベイラは４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流を具体的に観察できる例を与え，ラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性との関連性を指摘した．この例のおかげで，今までの研究のおおまかな方針はそのまま維持し，この例をさらに深く理解すること，そのミラー多様体における対応物である変形ヤンミルズ接続の関連する現象を観察すること，さらに，これらの例を一般のトーリックハイパーケーラー多様体に拡張することを目標とすることにした．また，研究代表者は過去にトーリックハイパーケーラー多様体内に別のタイプのラグランジュ平均曲率流の例を構成しており，この例との関連を調べることも興味深い問題である．ロテイとオリベイラの研究に触発されて，トーリックハイパーケーラー多様体の微分幾何的な側面，特にハイパーケーラー計量を簡明に記述することができた．また，トーリックハイパーケーラー多様体のミラー対称性に関する側面，とくにSYZミラーの構成についての理解はかなり深まってきた．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に引き続いて，トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体の幾何を，安定性を中心としてさらに詳しく研究したい．具体的には，ロテイとオリベイラが観察した４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流の漸近挙動とラグランジュ部分多様体の安定性の関連性を理解すること，とくに，４次元トーリックハイパーケーラー多様体のラグランジュファイブレーションの特異点，モノドロミー，壁越え現象がラグランジュ平均曲率流の漸近挙動にどのような影響を与えるかを観察したい．また，これらのミラー，すなわち，変形ヤンミルズ接続の対応する現象についても並行して観察したい．そして，これらを総合して，ラグランジュ部分多様体の安定性について理解を深めてゆきたい．これらの性質を調べる際，ラグランジュファイブレーションの特異点，モノドロミー，壁越え現象を中心として調べることから始めるが，ホモロジー的ミラー対称性の観点にまで遡って調べる必要があるかもしれない．ホモロジー的ミラー対称性は，現時点では計量によらない定性的な性質の対応関係であるが，これを計量に関する定量的な関係にまで精密化されるかどうかに興味がある．ラグランジュ平均曲率流は，そのためのよい試金石となることを期待している．また，研究代表者は過去に４次元トーリックハイパーケーラー多様体内に，ロテイとオリベイラの例とは別のタイプのラグランジュ平均曲率流の例を構成しており，この例については，いくつか興味深い問題が残されている．研究代表者の例とロテイとオリベイラの例の関連を調べることも興味深い問題である．さらに，これらの例を高次元のトーリックハイパーケーラー多様体に拡張することも興味深い問題である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究費の使用計画において，研究打合せ，情報収集のための旅費が最も大きな部分を占めていた．今年度はコロナウイルス感染症の影響で，参加予定であった多くの研究会がオンライン開催となった．一部の研究集会はオンラインと対面のハイブリッド開催であったが，本務校への学生に感染させてはいけないこと，自身の健康上の問題などで，研究会への対面での参加は断念し，オンラインにより参加した．そのために，旅費の支出がまったくなかった．以上の理由により，次年度使用額が生じた．
研究期間を1年延長させていただいたが，コロナウイルス感染症の状況は2022年度になっても，まだ先の見えない状況で，現時点でも多くの研究会は対面開催とは断言できない状況であるため，旅費の使用については，計画通りに実行できるかどうか不明である．
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