| 研究課題/領域番号 |
17K05231
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
今野 宏 明治大学, 理工学部, 専任教授 (20254138)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| キーワード | ラグランジュ部分多様体 / 平均曲率流 |
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| 研究実績の概要 |
昨年度に引き続き、４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体の安定性について研究した．近年，ロテイとオリベイラは，４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流を具体的に観察できる例を与え，ラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性の関連性を指摘した．とくに，ロテイとオリベイラは，群作用で不変なラグランジュ部分多様体が，群作用に同変な変形で特殊ラグランジュ部分多様体に変形できることと，そのラグランジュ部分多様体の同変安定性が同値であることを主張した．今年度は，彼らの議論において明確に扱われていない部分を，フレアー指数などの理論を基礎として再構成することにより，その同値性を完全に明らかにすることができた．
また，ラグランジュ部分多様体の安定性の概念のミラー多様体における対応物と期待される変形ヤンミルズ接続に関する安定性の概念については，近年理解が進んでいるので，双方の関係を比較して，ラグランジュ部分多様体の安定性の概念を確立することが目的である．ミラー多様体のシンプレクティック幾何的な直観を基礎とする構成方法，とくにラグランジュトーラスファイブレーションの双対ファイブレーションおよびその量子補正を考慮した貼り合わせにより，ミラー多様体を構成することについて理解を深めた．また，この直観をふまえて，代数幾何を基礎として厳密にミラー多様体を構成する方法についても理解を深めた．さらにこのミラー多様体の構成方法の基礎に，完全可積分系の特異ファイバーのシンプレクティック幾何や申請者が以前に研究していた幾何学的量子化におけるケーラー偏極と実偏極の関係深くかかわっていることがわかってきたが，まだ決定的な結果は得られていない．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究代表者は2019年度，2020年度に本務校の学部を運営するスタッフの一員であった．初年度の2019年度は，学部運営の諸問題の検討に多くの時間が必要であった．さらに，２年目の2020年度は，コロナウイルス感染症への学部としての対策を検討するために，多くの時間が必要であった．また，昨年度から今年度にかけて申請者の健康上の問題も重なり，研究計画が遅れる要因となった．
また，ラグランジュ部分多様体の安定性に関して，研究代表者のみならず他の研究者においても，期待していたほど研究の進展がなく，研究計画の変更の必要性を検討したこともあった．そのようなときに，ロテイとオリベイラは４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流を具体的に観察できる例を与え，ラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性との関連性を指摘した．そこで，この例をさらに深く理解すること，そのミラー多様体における対応物である変形ヤンミルズ接続の関連する現象を観察すること，さらに，これらの例をより一般の状況に拡張することを当面の目標とした．現時点の状況は，ロテイとオリベイラによるラグランジュ平均曲率流の収束性とラグランジュ部分多様体の安定性との関連性の説明をフレアー指数を基礎として，シンプレクティック幾何の枠組みで再構成することが可能となった．また，彼らの考察したラグランジュ部分多様体の，シンプレクティック幾何の枠組みにおける位置づけ，とくに完全可積分系の特異ファイバーとの関係もわかってきた．さらに，ミラー多様体の構成におけるシンプレクティック幾何的なアイデアとそれを厳密に構成する代数幾何的な枠組みに対しても，時間がかかったが理解を深めることができた．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に引き続いて，４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体の幾何を，安定性の概念を中心として調べてゆきたい．ロテイとオリベイラは４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ平均曲率流の漸近挙動とラグランジュ部分多様体の安定性の関連性を観察したが，今年度は，この現象をフレアー指数を基礎として，シンプレクティック幾何の枠組みで再構成することができた．また，彼らの考察したラグランジュ部分多様体の，シンプレクティック幾何の枠組みにおける位置づけ，とくに完全可積分系の特異ファイバーとの関係もわかってきた．これらを基礎として，このラグランジュ部分多様体のミラー多様体における対応物である変形ヤンミルズ接続を考え，ラグランジュ部分多様体の安定性と変形ヤンミルズ接続に関する安定性との対応関係を考察することが目標となる．とくに，４次元トーリックハイパーケーラー多様体のラグランジュファイブレーションの特異点，モノドロミーがラグランジュ部分多様体の安定性にどのような影響を与えるかを観察したい．ミラー対称性は，基本的にはシンプレクティック幾何と複素幾何との対称性であるが，SYZ予想に見られるように，微分幾何的な背景がある．以上の研究は，ラグランジュ平均曲率流を通して，ミラー対称性の微分幾何的側面を追求することにより，より定量的，あるいはより精密に調べることを目的とするものである．
また，４次元トーリックハイパーケーラー多様体内のラグランジュ部分多様体の幾何を理解するのに，完全可積分系の特異ファイバーに関する理論が有効であった．６次元以上については，完全可積分系の特異ファイバーに関する理論は整備されていない．上記の研究を高次元に拡張することを通して，高次元の完全可積分系の特異ファイバーの理論にアプローチしてゆくことも興味深いと思われる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究費の使用計画において，研究打合せ，情報収集のための旅費が最も大きな部分を占めていた．今年度もコロナウイルス感染症の影響で，参加予定であった研究会の一部の研究集会はオンラインと対面のハイブリッド開催であったが，本務校への学生に感染させてはいけないこと，自身の健康上の問題などで，研究会への対面での参加は断念し，オンラインにより参加した．年度末には，久しぶりに対面の研究会や学会に参加することができたが，次年度使用額が生じた．
研究期間をもう１年延長させていただいたが，自身の健康上の問題が解決すれば，対面の研究会にも参加できそうなので，旅費の使用については，計画通りに実行できる見込みである．
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