| 研究課題/領域番号 |
17K05234
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| 研究機関 | 木更津工業高等専門学校 |
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研究代表者 |
田所 勇樹 木更津工業高等専門学校, 基礎学系, 准教授 (10435414)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | リーマン面 / モジュライ空間 / 位相的漸化式 / 周期 / 調和体積 / 写像類群 / 反復積分 / トポロジー |
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| 研究実績の概要 |
リーマン面のモジュライ空間とは，閉リーマン面，つまりコンパクトな複素1次元多様体を双正則同型により同一視した空間である．モジュライ空間は，複素解析学，微分位相幾何学，代数幾何学，物理学など様々な分野において，重要な研究対象とされてきた．本研究の目的は，リーマン面のモジュライ空間の局所的な構造を定量的に理解することにある．また，モジュライ空間に対して自然に定まるヴェイユ・ピーターソン体積は，多くの研究者によって解析されてきた．この体積の満たす漸化式の拡張として位相的漸化式が定まり，物理学者を中心に研究されている．本研究では，曲面の複素構造に依存して定まる周期，調和体積の解析的不変量と位相的漸化式を結びつけることにより，モジュライ空間の局所的な構造の定量的な理解を試みる．
本年度は，昨年度に導出した，ある超楕円曲線，対称性の高いリーマン面の一つ，の点付き調和体積と拡大ジョンソン準同型の具体的な値をわかりやすく整理した．これらの結果をまとめた論文が専門誌に採択された．また，数理物理学で扱われる場の理論の離散化の一つとして，非線形シグマ模型を用いて離散リーマン面上のエネルギーを共同研究により導出した．より連続理論に近い離散リーマン面が近年定義され，我々はその定義を用いている．招待講演を含む各種研究集会において，点付き調和体積と拡大ジョンソン準同型に関する講演を行った．研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」，および，論文の精読とオリジナルの講演を組み合わせた研究集会「モジュライ空間と双曲幾何の進展」を共同開催した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
超楕円曲線の点付き調和体積と拡大ジョンソン準同型の具体的な値を整理できたことは進展と言える．また，研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」，「モジュライ空間と双曲幾何の進展」充実した研究交流を実施できた．しかし，周期および調和体積の変分やモジュライ空間の解析的不変量の導出を試してはいるが，興味深いものが出てこない．
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| 今後の研究の推進方策 |
曲面のファットグラフや離散リーマン面を利用して，周期および調和体積の変分を導出し，モジュライ空間の局所的な構造の理解につなげる．ここで，有限群のコホモロジーの計算を利用したい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究の遂行状況から研究集会の参加・発表および図書の購入を次年度に延期したため．
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