特異点を許容する曲面論と特異点論の研究

2019 年度 実績報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05238
• 研究機関: 室蘭工業大学
• 研究代表者: 高橋 雅朋 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 准教授 (80431302)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 特異点論 / 微分幾何学 / 微分方程式 / 枠付き曲面 / 双対性 / クレロー型微分方程式 / アファイン曲線 / 不変量

研究実績の概要

特異点を許容する曲面論と特異点論の研究として、枠付き曲面、１係数族の枠付き曲線により特異点を許容する曲面を捉えることで、ユークリッド合同における完全不変量の定式化を行いました。本理論を用いて、縮閉線、焦面（縮閉面）、包絡線、包絡面、回転面や特異点の判定法、１階常微分方程式、１階偏微分方程式の特異解の特徴づけや特異点の判定に応用しました。また、特異点論の研究として、ラグランジュ特異点論とルジャンドル特異点論の関係性を定式化し、焦面の分岐の分類を行いました。さらに、幾何学的同値関係の研究を行いました。
最終年度に実施した特異点を許容する曲面論と特異点論の研究として、
１．３次元球面内の枠付き曲面の研究を引き続きを行いました。元の曲面と双対曲面の特異点の特徴づけを枠付き曲面の基本不変量を用いて行い、具体例を構成しました。また、特別な双対性の研究を行いました。
２．４次元ユークリッド空間内の枠付き曲面の研究を行いました。基本不変量を導入し、ユークリッド合同による存在と一意性の証明を行いました。
３．アファイン曲線として、付随する枠付き曲線を考え、曲率を導入し、アファイン合同による存在と一意性の証明を行いました。また、縮閉線の定式化を行いました。
４．１階常微分方程式、１階偏微分方程式、１階偏微分方程式系に対するクレロー型方程式を考え、特異解がルジャンドルはめ込みの包絡線、包絡面になることから、特異解の特異点の型の判定法を与えました。

研究成果

• [国際共同研究] 東北師範大学/吉林経済大学(中国)
  • 国名: 中国
  • 外国機関名: 東北師範大学/吉林経済大学
• [国際共同研究] バレンシア大学(スペイン)
  • 国名: スペイン
  • 外国機関名: バレンシア大学
• [雑誌論文] Dualities and envelopes of one‐parameter families of frontals in hyperbolic and de Sitter 2‐spaces (2020)
  • 著者名/発表者名: Chen L.、Pei D. H.、Takahashi M.
  • 雑誌名: Mathematische Nachrichten 巻: 293 ページ: 893-909
  • DOI: 10.1002/mana.201800316
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] On families of Lagrangian submanifolds (2020)
  • 著者名/発表者名: Izumiya Shyuichi、Takahashi Masatomo
  • 雑誌名: Journal of Singularities 巻: 21 ページ: 188-207
  • DOI: 10.5427/jsing.2020.21j
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Framed surfaces and one-parameter families of framed curves in Euclidean 3-space (2020)
  • 著者名/発表者名: Fukunaga Tomonori、Takahashi Masatomo
  • 雑誌名: Journal of Singularities 巻: 21 ページ: 50-69
  • DOI: 10.5427/jsing.2020.21c
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Surfaces of Revolution of Frontals in the Euclidean Space (2019)
  • 著者名/発表者名: Takahashi Masatomo、Teramoto Keisuke
  • 雑誌名: Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series 巻: - ページ: -
  • DOI: 10.1007/s00574-019-00180-x
  • 査読あり / オープンアクセス
• [雑誌論文] Envelopes of one-parameter families of framed curves in the Euclidean space (2019)
  • 著者名/発表者名: Pei Donghe、Takahashi Masatomo、Yu Haiou
  • 雑誌名: Journal of Geometry 巻: 110 ページ: 1-31
  • DOI: 10.1007/s00022-019-0503-1
  • 査読あり / オープンアクセス / 国際共著
• [雑誌論文] Developable surfaces along frontal curves on embedded surfaces (2019)
  • 著者名/発表者名: Honda Shun'ichi、Izumiya Shyuichi、Takahashi Masatomo
  • 雑誌名: Journal of Geometry 巻: 110 ページ: 1-20
  • DOI: 10.1007/s00022-019-0485-z
  • 査読あり / オープンアクセス
• [学会発表] Envelopes of families of framed surfaces and singular solutions of first order partial differential equations (2019)
  • 著者名/発表者名: Takahashi Masatomo
  • 学会等名: 6th International Workshop on Singularities in Generic Geometry and its Application
  • 国際学会 / 招待講演
• [学会発表] Singularities of envelopes for first order differential equations of Clairaut type (2019)
  • 著者名/発表者名: Takahashi Masatomo
  • 学会等名: Singularity Theory and its Applications in Differential Equations and Differential Geometry
  • 国際学会
• [学会発表] １階クレロー型方程式の特異解の特異点について (2019)
  • 著者名/発表者名: 高橋 雅朋
  • 学会等名: 室蘭研究会2019
• [学会発表] Bertrand and Mannheim curves of framed curves in the 3-dimensional Euclidean space (2019)
  • 著者名/発表者名: 高橋 雅朋
  • 学会等名: 特異点論による空間研究
• [備考] 数学-Mathematics-
  • URL: http://www3.muroran-it.ac.jp/masatomo/math.html
• [備考] 室蘭工業大学研究者データベース
  • URL: http://rdsoran.muroran-it.ac.jp/html/100000191_ja.html