• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2017 年度 実施状況報告書

関数空間上の線形作用素と幾何学的トポロジー

研究課題

研究課題/領域番号 17K05241
研究機関筑波大学

研究代表者

川村 一宏  筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)

研究期間 (年度) 2017-04-01 – 2020-03-31
キーワード等長写像 / Hochschildコホモロジー
研究実績の概要

前年度に引き続いて、関数空間の等長変換に関する研究を行った。特に円周上の連続微分可能関数空間上のいくつかのノルムに関する等長変換を,荷重合成作用素あるいはその変形によって特徴づけることができた。昨年度得られていた一般のリーマン多様体上の連続微分可能関数空間に対するBanach-Stone型定理は, 関数の正則性を保つ等長変換に対して得られている。これに対して底空間が円周である場合には、正則性の保存という仮定を置かず、より自然な形の定理を得た。
次にリプシッツ環の連続Hochschildコホモロジーに関する研究を行った。多様体上の連続微分可能関数空間の,連続Hochschildコホモロジーに関する大域次元は無限大であることが古典的に知られている。リーマン多様体上の標準距離に対するリプシッツ関数環に対して同様のコホモロジーを考察し、大域次元がやはり無限次元であることを証明した。コンパクトリーマン多様体上の標準距離に関するリプシッツ環に対し、de Leeuwの古典的方法を拡張して、”方向の空間”に類似のコンパクト空間(ただし距離化不可能)を構成し、その上の連続関数環を係数加群とするリプシッツ環のHochschildコホモロジーが無限階数を持つことを示した。一方係数加群を底空間上の連続関数にとると、1次元コホモロジーは消えることを示すことができる。これらの結果はリプシッツ環はコホモロジーに関して連続微分可能関数よりも強い意味での無限次元性を持つことを示している。
次にBanach環の”近似従順性”について考察した。従順性(amenability)の一般概念としての近似従順性にはいくつかのヴァリエーションが存在する。それらのヴァリエーションに対応してHochschildコホモロジーを用いて高次元近似従順性を定義できる。これらの概念の近似対角元の存在による特徴付けについて考察した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

等長変換の特徴付け定理としてのBanach-Stone型定理については、当初計画していたリーマン多様体上の連続微分可能関数空間における定理を得て、底空間の幾何との関わりを明示的に記述することができ、一定の成果を挙げることができた。またリプシッツ関数環のHochschildコホモロジーが、ある場合に無限階数を持つ一方、ある場合にはゼロであることを示し、今まで観察されていなかった新たな知見を加えることができた。さらに近似従順性の高次元版についてコホモロジーを用いた特徴づけを与えることができた。
しかしながら当初計画していた線形作用素の力学系に対する研究については順調な進展を見たということはできない。等長変換作用素の定める力学系のカオス性・位相推移性に関する研究は未だ予備的な考察にとどまっている。また一般射影極限上のシフト作用素が導く関数空間上の作用と底空間のかかわりについても明示的な結果が得られていない。
以上の様に、進展したテーマがある一方で予備的な段階にとどまっているテーマも残っており、全体としてはやや遅れている。

今後の研究の推進方策

荷重合成作用素の導く線形作用素の力学系のカオス的な性質をより細かい概念を用いて調べる。特にカオス的力学系の具体例を多く見出すために荷重合成作用素を用いる。
Banach-Stone型定理の一つのヴァリエーションとして、三浦毅氏によって創始された底空間のトポロジーとの関わりを明示するいくつかの定理がある。今後は底空間の次元との関わり・Banach-Stone型定理を成り立たせるためのテスト空間を見出すことを目標とする。またリーマン多様体上の微分形式の空間に対するBanach-Stone型定理を考察する。
一般化射影極限空間上のシフト作用素について測度論的な考察を進める。そのことによって考察の対象とできる関数空間が広がり、シフト作用素の導く荷重合成作用素の力学系的性質の研究を、より幅広い文脈で遂行することができる。また測度論的エントロピーと位相エントロピーの関係を記述する変分原理を一般化射影極限の枠組みで定式化し証明する。また昨年度Kennedy氏との共同研究で得られた記号力学系についてStrum列との関わりを明確に理解する。
Banach環の従順性についてさらに研究する。トーラス上のヘルダー連続関数環のweak amenabilityおよびその高次元版に関するJohnsonの研究は,積分を用いて-即ち関数の空間全体における大域的な情報を用いて-定義されるderivationの存在を示しており興味深い。この結果を一般のリーマン多様体上のヘルダー関数空間に対して拡張する。関数空間のホモロジーとコホモロジーは、対象の無限次元性に起因する障害のため満足の行く双対性が存在しない。このような欠点を補うような”近似ホモロジー”論として現在提案されているものを検討し、正しい定式化を探る。

次年度使用額が生じた理由

今年度計画していた研究集会が中止されたため、旅費として計画していた支出が中止された。新たな研究集会を複数計画しており、それらの開催費として充当する予定である。また海外研究集会への参加を計画しており、渡航費を支出予定である。

  • 研究成果

    (34件)

すべて 2018 2017

すべて 雑誌論文 (16件) (うち国際共著 2件、 査読あり 15件) 学会発表 (18件) (うち国際学会 9件、 招待講演 10件)

  • [雑誌論文] Isometries of vector-valued function spaces preserving the kernel of a linear operator2018

    • 著者名/発表者名
      Kazuhiro Kawamura
    • 雑誌名

      Publiocaiones Mathematicae Debrecen

      巻: 92 ページ: 17-57

    • DOI

      10.5486/PMD.2018.7698

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Peculiar homomorphisms on algebras of vector-valued maps2018

    • 著者名/発表者名
      Osamu Hatori and Shiho Oi
    • 雑誌名

      Studia Mathematica

      巻: 242 ページ: 141-163

    • DOI

      10.4064/sm8799-6-2017

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Perturbations of norms on C1 function spaces and associated isometry groups2018

    • 著者名/発表者名
      K. Kawamura
    • 雑誌名

      Topology Proceedings

      巻: 51 ページ: 169-196

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Linear continuous surjections of Cp-spaces over compacta2017

    • 著者名/発表者名
      K. Kawamura and A. Leiderman
    • 雑誌名

      Topology and its Applications

      巻: 227 ページ: 135-145

    • DOI

      dx.doi.org/10.1016/j.topol.2017.01.022

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Isometries of function spaces over Riemannian manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      K. Kawamura
    • 雑誌名

      Acta Scientiarum Mathematicarum(Szeged)

      巻: 83 ページ: 593-617

    • DOI

      DOI:10.14232/actasm-016-283-9

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Banach-Stone type theorem for C1 function spaces over Riemannian manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      K. Kawamura
    • 雑誌名

      Acta Scientiarum Mathematicarum(Szeged)

      巻: 83 ページ: 551-591

    • DOI

      DOI: 10.14232/actasm-016-323-4

  • [雑誌論文] Banach-Stone theorems for vector bundle continuous sections2017

    • 著者名/発表者名
      K. Kawmaura
    • 雑誌名

      Topology and its Applications

      巻: 227 ページ: 118-134

    • DOI

      dx.doi.org/10.1016/j.topol.2017.01.023

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Real-linear surjective isometries between function spaces2017

    • 著者名/発表者名
      K. Kawamura and T.Miura
    • 雑誌名

      Topology and its Applications

      巻: 226 ページ: 66-85

    • DOI

      dx.doi.org/10.1016/j.topol.2017.05.002

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On inverse limits with set-varlued functions on graphs2017

    • 著者名/発表者名
      M. Hiraki and H. Kato
    • 雑誌名

      Topology and its Applications

      巻: 226 ページ: 16-30

    • DOI

      dx.doi.org/10.1016/j.topol.2017.04.022

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On dimension and shape of inverse limits with set-valued functions2017

    • 著者名/発表者名
      H. Kato
    • 雑誌名

      Fundamenta Mathematicae

      巻: 236 ページ: 83-99

    • DOI

      10.4064/fm233-4-2016

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Chaos and indecomposability2017

    • 著者名/発表者名
      U. Darji and H. Katao
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 304 ページ: 793-808

    • DOI

      dx.doi.org/10.1016/j.aim.2016.09.012

    • 査読あり / 国際共著
  • [雑誌論文] Surjective isometires on the Banach space of continuously differentiable functions2017

    • 著者名/発表者名
      T. Miura and H. Takagi
    • 雑誌名

      Contemporary Mathematics

      巻: 687 ページ: 181-192

    • DOI

      10.1090/conm/687/13787

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Extensions of isometries in the generalized gyrovector spaces of the positive cone2017

    • 著者名/発表者名
      O. Hatori
    • 雑誌名

      Contemporary Mathematics

      巻: 687 ページ: 145-156

    • DOI

      10.1090/conm/687/13728

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Hermitian operators on Banach algebras of vector-vlused Lipschitz maps2017

    • 著者名/発表者名
      O. Hatori and S. Oi
    • 雑誌名

      Journal of Mathematical Analysis and Applications

      巻: 452 ページ: 378-387

    • DOI

      10.1016/j.jmaa.2017.03.015

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Peculiar homomorphisms on algebras of vector-valued continuously differentiable maps2017

    • 著者名/発表者名
      O. Hatori, S. Oi and H. Takagi
    • 雑誌名

      Linear and nonlinear analysis

      巻: 3 ページ: 101-109

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on the Gauss images of complete minimal surfaces in Euclidean four-space2017

    • 著者名/発表者名
      R. Aiyama, K. Akutagawa, S.Imagawa and Y.Kawakami
    • 雑誌名

      Ann. Mat. Pura Appl.

      巻: 196 ページ: 1863-1875

    • 査読あり
  • [学会発表] Extreme points of dual spaces and Banach-Stone type theorems2018

    • 著者名/発表者名
      川村一宏
    • 学会等名
      関数空間の深化とその周辺
    • 招待講演
  • [学会発表] Hochschild cohomologies of Lipschitz algebras over compact Riemannian manifolds2018

    • 著者名/発表者名
      川村一宏
    • 学会等名
      第13回代数・解析・幾何セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Isometries on admissible quadruples2018

    • 著者名/発表者名
      羽鳥理
    • 学会等名
      等距離写像理論と保存問題の多様な視点からの研究
  • [学会発表] Surjective isometries on Banach algebras of Lipschitz maps2018

    • 著者名/発表者名
      羽鳥理
    • 学会等名
      日本数学会2017年度年会
  • [学会発表] Banach-Stone type theorem for C^1 function spaces over Riemannian manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      Kazuhiro Kawamura
    • 学会等名
      Geometric Topology and Geometry of Banach spaces
    • 国際学会
  • [学会発表] Lipschitz環のコホモロジーについて2017

    • 著者名/発表者名
      川村一宏
    • 学会等名
      空間の代数的・幾何学的モデルとその周辺
    • 招待講演
  • [学会発表] Derivations and cohomologies of Lipschitz algebras2017

    • 著者名/発表者名
      川村一宏
    • 学会等名
      トポロジー火曜セミナー
    • 招待講演
  • [学会発表] Topological entropy and topological structures of G-like indecomposable continua2017

    • 著者名/発表者名
      Hisao Kato
    • 学会等名
      the 7th Visegrad conference on Dynamical Systems
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Topological entroty and topological structure of 1-dimensional continua2017

    • 著者名/発表者名
      加藤久男
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] Norms and isometires on C1([0,1])2017

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Miura
    • 学会等名
      Methods in Operator Theory and Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Norms on C1([0,1]) and their surjective isometries2017

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Miura
    • 学会等名
      Preservers Everywhere
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] C1([0,1])上の等距離写像2017

    • 著者名/発表者名
      三浦毅
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
  • [学会発表] Isometrieson C1-spaces of C(X)-valued functions2017

    • 著者名/発表者名
      Takeshi Miura
    • 学会等名
      2017 Conference on Function Algebra
    • 国際学会
  • [学会発表] Isoometries on uniform algebra valued C1 spaces2017

    • 著者名/発表者名
      三浦毅
    • 学会等名
      等距離写像理論と保存問題の様々な視点からの研究
  • [学会発表] Lumer's method for certain admissible quadruples2017

    • 著者名/発表者名
      Osamu Hatori
    • 学会等名
      Methods in Operator Theore and Applications
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Homomorphisms and isometries on Banach algebras of vector-valued maps2017

    • 著者名/発表者名
      Osamu Hatori
    • 学会等名
      Preserver Everywhere
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] A geometric inequality onthe positive cone and application2017

    • 著者名/発表者名
      Osamu Hatori
    • 学会等名
      Positivity IX
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On Example 8 of the paper of Jarosz and Pathak2017

    • 著者名/発表者名
      Osamu Hatori
    • 学会等名
      2017 Conference on Function Algebra
    • 国際学会

URL: 

公開日: 2018-12-17  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi