| 研究実績の概要 |
ポリヘドラルプロダクトZ(K;(X,A))は抽象単体複体Kの組み合わせ的な情報を用いて、空間対(X,A)から構成される空間であり、座標配置空間やその補空間、モーメントアングル複体など、トポロジーで重要とされる研究対象を一般化したものである。ポリヘドラルプロダクトの研究において最も重要なのは、それを定める抽象単体複体の組み合わせ構造とポリヘドラルプロダクトのトポロジーとがどのようにつながっているかを記述することである。近年、この研究によりトポロジーと組み合わせ論との相互作用がよりよく理解されてきており、特に、Golodと呼ばれるクラスの抽象単体複体を、ポリヘドラルプロダクトのトポロジーを通した研究は盛んに行われている。
前年度までの研究により、曲面の三角形分割がGolodである必要十分条件が、入江幸右衛門氏との共同研究で導入したポリヘドラルプロダクトのファットウェッジフィルトレーションによってトポロジー、組み合わせ構造の両面で与えられている。本年度は３次元多様体のGolod性に関してポリヘドラルプロダクトのファットウェッジフィルトレーションを用いて研究した。その結果、微分幾何学におけるタイトな埋め込みを組み合わせ的に一般化した抽象単体複体のタイト性とGolod性が、３次元多様体の三角形分割に対して同値であることが証明できた。Golod性とタイト性とが関係しているとはこれまで全く考えられていなかったが、ポリヘドラルプロダクトのトポロジーを通してこの関係性が発見できた。
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