| 研究課題/領域番号 |
17K05249
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| 研究機関 | 奈良女子大学 |
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研究代表者 |
小林 毅 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (00186751)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Heegaard分解 / 球面曲線 / 橋分解 / 安定校点数 / 機械学習 / ニューラルネットワーク / 折り紙 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は次のような目的を設定している. 1)三次元多様体論に関する研究に曲線複体の幾何学に関する新しい視点を取り入れることにより，手法の精密化・ 展開をはかり，この方面の研究に新たな展開・応用を発見する. 2)結び目・絡み目の橋分解に関する研究，特にその同値性に関する研究の精密化・展開を行う. 3)低次元トポロジーにおいてこれまでに得られている様々な手法や成果を折り紙やデータ解析等具体的な対象物に適用し，低次元トポロジーが様々な分野に応用可能であることを示す.
1)に関しては広島大学の井口大幹・古宇田悠哉氏によってHeegaard splitting がkeenであるという概念が精密化された. 彼らはweakly keenと呼ばれる概念を導入しそのような Heegaard分解を持つ三次元多様体の写像類群について調べたがこの研究の中で彼らはweakly keenであってstrongly keenで無いようなHeegaard分解が実際に存在するのか，という問題を提出している．張娟姫，井戸絢子と共同でこの問題に対する研究を行いweakly keenであってstrongly keenで無いようHeegaard分解を構成する方法を提案し現在も研究は継続中である．また前年度小林住香とともにに提案した球面曲線の組の「安定交点数」と呼ばれる量に関する研究を継続して行っており，これまでに得られた成果を改良するための研究を行った．また結び目の橋位置と橋分解に関する張娟姫，小沢誠，高尾和人との共同研究を継続した．3)に関しては，NickleとKielaによって提案されたポアンカレ円板に対するネットワーク埋め込みに関する研究を自然言語処理に応用する研究を行い対話の構造を可視化する方法を提案した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的1)，2)に関してはこれまで張娟姫，井戸絢子との共同研究により導入されたkeenなHeegaard 分解に関連して、井口大幹・古宇田悠哉 (広島大学) によって定義されたweakly keenなHeegaard分解の構成方法を研究することにより、Heggard分解の距離に対する理解を大きく深めることができたと評価している．また昨年度は伊藤昇，橋爪惠，船越紫，村井紘子と共同で行った球面曲線全体の 集合から誘導される複体に関する研究の定式化を利用して球面曲線の研究における新しい研究対象(安定交点数)を定義し，この概念の研究が非自明であることを示すことができたが、この結果を更に深めるための手法について研究を進めた．また張娟姫，小沢 誠，高尾和人と共同で進めている結び目の橋位置と橋分解に関する研究については、これまでの定式化を見直すことによりこの分野の歴史に注目した観点からその意義を論じるためのフレームワークを提案できたと考えている．研究目的3)に関しては，データ解析に関する最新の成果を利用して「対話の構造を可視化する」という研究に関してこれまでにはない視点を導入することができたと考えている. 以上の点によりここまでの研究は「おおむね順調に進展している」と評価した.
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| 今後の研究の推進方策 |
井口 大幹・古宇田悠哉氏 によって定義された，「weakly keenなHeegaard 分解の構成問題」に関する研究を引き続き行う.また球面曲線全体の研究に関しては，「安定交点数がもとの球面曲線の交点数よりもいくらでも大きなものが存在するか」という問題を念頭に，これに関連した幾つかの問題（安定校点数が小さい場合に関する実験的な研究など）に取り組んでいきたいと考えている．折り紙の研究に関して，折り紙研究グループとの情報の交換を行うなど研究のフィールドを広げてゆくことを考えている．特に折り紙の構成方法に（例えば「進化折り紙」といった）新しい視点を探してゆきたい.「低次元トポロジーの手法を位相的データ解析に適用」については，鈴木ひかるが行った「ポアンカレ埋め込みの自然言語処理への応用」に関する研究を発展させるとともに「ニューラルネットワークによる結び目の自明性判定問題」，「強化学習を利用して自明と判定された結び目を実際にほどく過程を与える」等低次元トポロジーとデータ解析の橋渡しになるような研究を推し進めるとともに，研究の最終年度であることからこれらの成果を積極的に発信していきたいと考えている．
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