| 研究成果の概要 |
3 次元多様体のシャドウとは, その多様体を境界に持つ 4 次元多様体の 2 骨格のことである. 本研究では, シャドウの頂点数を介して定義される複雑度に着目し, 3・4 次元多様体のトポロジーと幾何構造に関して次の成果を得ることができた: (1) シャドウ複雑度が 1 の閉 4 次元多様体の分類; (2) 低複雑度の非輪状な 4 次元多様体の分類; (3) 余次元 2 の特異ファイバーを 1 本のみ持つ安定写像を許容する双曲絡み目の分類. また, 関連する話題として, 3 次元多様体の Heegaard 分解の Goeritz 群に関する様々な性質の研究を進め, 成果を発表した.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
空間の数学的モデルである多様体の中でも, 特に低次元 (次元が 4 以下) のものについては, 微分構造と組み合わせ構造が等価であることが知られている. したがって, これらの間のつながりを明示的に記述し, 微分構造に基づいて定義される諸概念から, 計算可能な組み合わせ的な量を引き出すことが原理的に可能である. 本研究課題では, シャドウ複雑度という組み合わせ量を用いて 3 次元多様体の微分構造・幾何構造, 4 次元多様体の微分構造を記述したものであり, 得られた成果は低次元多様体への理解に寄与するものである.
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