| 研究課題/領域番号 |
17K05259
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 結び目 / 絡み目 / 整合的バンド手術 / 交差交換距離 / H(2)結び目解消数 / リボン結び目 / ねじれAlexander多項式 |
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| 研究実績の概要 |
結び目，絡み目の局所変形を研究課題として研究を進めた．2017年度の研究実績は以下のとおりである．
１．７交点までの結び目と２成分絡み目の間の整合的バンド手術距離の表を作成し，その結果を論文としてまとめた．とくに，距離が１または２か，不明であった組について多項式不変量を用いた判定方法や，図式を精査することで，いくつかの場合に関して決定することに成功した．
２．神戸大の中西は三つ葉結び目や８の字結び目と同じAlexander多項式をもつ結び目からの交差交換距離（ゴルディアン距離）が１であるような結び目のAlexander多項式について研究をおこなっているが，この結果を利用して，9交点までの結び目の間の交差交換距離を調べた．それにより，中西の結果が有効であり，Jones多項式などの多項式不変量を使う評価と独立であることが確かめられた．
３．10交点までの結び目に関して，H(2)結び目解消数を調べた．（1）Bauによる２本橋結び目がH(2)結び目解消数が１となるための条件を適用した．この条件を調べるためには初等数論的な計算が必要で，コンピュータプログラムのMathematicaの使用により可能となった．（2）Zekovicが図式の研究により，H(2)結び目解消数が１の結び目の表を作成しているが，これを検証した．Zekovicの表からもれたH(2)結び目解消数が１の結び目もみつかった．この研究により，10交点の素な結び目165個のうちでH(2)結び目解消数が不明なものは９個となった．
この他に，２次元のリボン結び目の分類に関して次の結果を得た．（1）Alexander 多項式が1の無限族をねじれAlexander多項式により分類した．（2）リボン交点数が4までのものについて，結び目群をねじれAlexander多項式を求めることにより，ほぼ分類することができた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当研究の研究課題は結び目，絡み目の局所変形である．具体的には以下の３種類の局所変形の研究である．（1）整合的バンド手術．（2）結び目の非整合的バンド手術であるH(2)移動．（3）交差交換．それぞれの局所変形により与えられた２つの結び目，絡み目は移りあうことが知られている．そのときのそれぞれの局所変形の最小回数を結び目，絡み目の間の『距離』と定義して，小さい交点数の結び目，絡み目の間の距離を求めることが具体的な問題となる．
今年度は，これらの局所変形に対して，研究概要で述べたような成果を与えることができた．さらに，この研究に関連して，２次元リボン結び目の分類問題をねじれAlexander多項式を応用して取り組む問題にも進展が見られた．以上により，研究は順調に進展していると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
10交点までの結び目に関して，素な結び目についてH(2)結び目解消数を求めたが，合成結び目についてもH(2)結び目解消数を求めることにより，10交点までの結び目のH(2)結び目解消数の表を作成して論文として発表したい．
10交点までの結び目に対して，Darcy(1997年)，Moon(2010年)が結び目の交差交換距離の表を発表しているが，この表の改良を試みたい．すなわち，Darcy，Moon以降に，Alexander多項式，あるいは，その他の多項式不変量の特殊値を用いた交差交換距離の下からの評価が，いくつか開発されているが，それらを適用することにより，この表を見直していきたいと考える．また，上からの評価も仔細に検討する予定である．
この研究に関連して，結び目のねじれAlexander多項式についても研究を進めたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
個人的な急用で，学会，研究集会への出席が不可能になった場合があった．次年度は，研究協力者，指導している院生も含め，できるかぎり研究会等に出席する予定である．
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