円周への無限離散群の作用の剛性と柔軟性

2019 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 17K05260
• 研究機関: 青山学院大学
• 研究代表者: 松田 能文 青山学院大学, 理工学部, 助教 (60549294)
• 研究期間 (年度): 2017-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 円周への群作用 / 剛性 / フックス群 / 回転数

研究実績の概要

今年度もモジュラー群PSL(2;Z) など２つの有限巡回群の自由積を中心に、円周への作用の剛性と柔軟性について考察した。特に、フックス作用の持ち上げがいつ剛的であるかについての考察を昨年度から引き続き行った。
剛的でない場合の決定は、ジェンキンスとノイマンによる円周の同相写像の回転数が同相写像を合成したときにどう振る舞うかについての結果を用いて行った。具体的には、自由積の生成元に対応する同相写像の回転数が指定されたときに、それらの同相写像の積の共役類が決定されないことを確かめることによって行った。
剛的であることの証明は、モジュラー群のフックス作用に対応する円的順序の孤立性の証明を参考にして行った。具体的には、自由積の生成元とその積の回転数がある条件を満たすとき、生成元のいくつかの積たちに対応する同相写像たちによる円周上の１点の振る舞いを観察して、作用に付随する円周のマルコフ的な分割が得られることを確かめることによって行った。
これら２つの方法によって、モジュラー群など生成元の位数が小さいものについてはフックス作用の持ち上げがいつ剛的になるかが決定できた。しかし、生成元の位数が大きいものに対しては上記の方法を適用しようとすると計算が煩雑であり、生成元の位数を動かしたときの現象の統一的な見通しも立てられなかったため、完全な決定には至らなかった。
また、２つの有限巡回群の自由積について、フックス作用の持ち上げでない任意の作用が剛的でないかについても引き続き考察した。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

２つの有限巡回群の自由積たちのうち、フックス作用の持ち上げの剛性が決定できていなものが残されているため。

今後の研究の推進方策

２つの有限巡回群の自由積のフックス作用の剛的持ち上げの決定を最優先として、関連する問題と合わせて取り組む。

次年度使用額が生じた理由

新型コロナウイルス感染症の影響により参加予定の研究集会のいくつかが中止となったため。
オンラインでの研究集会に参加するために必要な物品の購入や、新型コロナウイルス感染症の影響などにもよるが研究集会に参加するための旅費などに充てる。