| 研究課題/領域番号 |
17K05261
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 絡み目群 / 双曲絡み目 / 双曲的トーション多項式 / DFJ予想 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、双曲絡み目のホロノミー表現に付随して定まる双曲的トーション多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、双曲結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson（DFJ予想）を双曲絡み目に対して拡張し、絡み目群のSL(2,C)-指標代数多様体の適当なスライス（ホロノミー表現のリフトを含む断面）の情報から、絡み目のファイバー性とサーストンノルムを決定することを目標としている。本課題は、大別すると次の2点
1. 双曲絡み目に対する双曲的トーション多項式の明示公式
2. 得られた多項式の性質と双曲絡み目のファイバー性およびサーストンノルムの関係
を明らかにすることが目標となる。
上記の研究目標に対して、今年度は1. と2. の橋渡しに関わる部分に焦点を絞って研究を行った。より具体的には、平成29年度に行った、双曲絡み目のDFJ予想を支持する絡み目の無限系列の構成の適用範囲をさらに広げるために、これまで結び目の範疇でもDFJ予想が示されていなかった3橋結び目の無限系列に対してDFJ予想を証明した。この成果は、米国テキサス大学・ダラス校のAnh T. Tran氏との共同研究に基づいている。また、奈良女子大学での国際研究集会を平成30年10月に主催し、本研究課題に近い領域を専門とする研究者をフランスから2名招聘した。そこで行った活発な議論が、上記研究成果を得るための強力な推進力となった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の重要な第一ステップである絡み目に対するDFJ予想の定式化が既に完了し、これを支持する豊富な具体例を構成する準備が整いつつあるため。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成30年度に得られた研究成果を基にして、次年度は「５. 研究実績の概要」欄で述べた2つの目標のうち、2. に焦点を絞って研究を行うことにする。より具体的には、絡み目群の表現を変形した際に、サーストンノルムの情報がどのように変化するのかを代数的な枠組みで捉えることを目標とする。対象としては、昨年度中に扱った3橋結び目の無限系列に対応する絡み目を考察することが課題となる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度の研究を推進する過程で当初計画よりも早く理論的側面が進展していたため、計算機実験を行うためのソフトウェアおよび計算機の購入を先送りしたため。次年度の早い段階でこれらの物品を購入して計算機実験を行うことで、本研究課題の推進に役立てたい。
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