| 研究課題/領域番号 |
17K05261
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 絡み目群 / 双曲絡み目 / 双曲的トーション多項式 / DFJ予想 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、双曲絡み目のホロノミー表現に付随して定まる双曲的トーション多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、双曲結び目のファイバー性と種数に関するDunfield-Friedl-Jackson予想（DFJ予想）を双曲絡み目に対して拡張し、絡み目群のSL(2,C)-指標代数多様体の適当なスライス（ホロノミー表現のリフトを含む断面）の情報から、絡み目のファイバー性とサーストンノルムを決定することを目標としている。本課題は、大別すると次の2点
1. 双曲絡み目に対する双曲的トーション多項式の明示公式
2. 得られた多項式の性質と双曲絡み目のファイバー性およびサーストンノルムの関係
を明らかにすることが目標となる。
上記の研究目標に対して、今年度は2. に関わる部分に焦点を絞って研究を行った。より具体的には、双曲絡み目の持つ性質と対比させるために、双曲構造の入らないトーラス絡み目のねじれアレキサンダー多項式を詳しく考察し、それがSL(2,C)-指標代数多様体上で局所定数になるという結果を得た。この成果は、米国テキサス大学・ダラス校のAnh T. Tran氏および創価大学の北野晃朗氏との共同研究に基づいている。また、令和元年6月に石川県政記念しいのき迎賓館で国際研究集会を開催し、本研究課題に近い分野を専門とする研究者をフランスから2名招聘した。そこで行った活発な議論が、上記研究成果を得るための強力な推進力となった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
COVID-19の影響により、今年度終盤の研究計画を一部変更せざるを得なかったため。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和元年度に得られた研究成果を基にして、本研究課題の最終年度である次年度は、「研究実績の概要」欄で述べた2つの目標について研究を推進する。DFJ予想・一般化されたDFJ予想の両者ついて、反例の存在の可能性も念頭に置きながら、予想の成り立つ結び目・絡み目を特定することが課題となる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
COVID-19の影響により、予定していた研究動向の調査を中止したため。次年度も国内外ともに、対面での研究打ち合わせ等が困難であることが予想されるので、オンラインで議論が可能となる研究環境整備を行い、本研究課題の推進に役立てたい。
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