| 研究課題/領域番号 |
17K05268
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
木田 良才 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90451517)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 離散群 / 軌道同値関係 / 変換亜群 |
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| 研究実績の概要 |
離散群による測度空間への作用はフォンノイマン環の豊富な例を提供し、作用の軌道同値関係はそのようなフォンノイマン環の一側面を映し出す。この一側面を公理化する上で導入されたのが測度付き離散同値関係であり、これは作用の軌道同値関係を一般化したものである。今年度は、同値関係に付随する充足群の中心列（つまり、充足群の元の列でどんな元とも漸近的な意味で交換するようなもの）の振る舞いについていくつかの基本的な事実を得た。よく知られているように、充足群の中心列はフォンノイマン環と同値関係を調べるための重要な手がかりとなるだけでなく、しばしばフォンノイマン環や同値関係の代数的な特徴付けにおいて本質的な役割を果たす。測度付き離散同値関係がシュミットであるとは、その充足群が非自明な中心列をもつときをいう。また、可算離散群がシュミットであるとは、それによる標準確率空間への保測作用で自由かつエルゴード的であって、付随する軌道同値関係がシュミットであるようなものが存在するときをいう。この性質は未解明の部分が多く、例えば、可算離散群がシュミットであるためには内部従順であることが必要だが、十分であるかどうかはわかっていない。これはシュミットの問題とよばれ、３０年近く未解決である。シュミット性の理解に向け今年度は、シュミット性が同値関係の基本的な操作（同値関係のコンパクト拡大と有限指数の包含）で閉じていることを示した。（共同研究による。）これにより可算離散群のシュミット性が有限指数部分群に遺伝することが従う。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
可算離散群と測度付き離散同値関係のシュミット性が基本的な操作で閉じているかどうかを明らかにすることはシュミットの問題の攻略において不可避な課題であり、今年度の研究でそれをおおむね満足に解決できた。まだまだ基本的な課題が残っているものの、シュミットの問題の解決に向け、順調に成果を上げている。
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| 今後の研究の推進方策 |
群が有限正規部分群をもつとき、商群が内部従順ならば商をとる前の群も内部従順である。シュミットの問題を攻略する上で、この主張が内部従順性の代わりにシュミット性に対しても成り立つかという問題は考察に値する。過去の研究で作用の安定性に対して同様の問題を考察しており、これをヒントに解決の糸口を探りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
大学での業務により当初計画していた出張を取りやめたため、次年度使用額が生じた。次年度では研究打ち合わせ期間を延長し、生じた額はその費用に充てる予定である。
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