| 研究課題/領域番号 |
17K05270
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| 研究機関 | 青山学院大学 |
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研究代表者 |
津田 照久 青山学院大学, 理工学部, 教授 (00452730)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | パンルヴェ方程式 / 無限可積分系 / 有理函数近似 / 離散力学系 / クラスター代数 |
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| 研究実績の概要 |
線形常微分方程式のモノドロミーを不変に保ちながら特異点に於ける特性指数を整数だけずらす変換をシュレジンガー変換という。パンルヴェ方程式等のモノドロミー保存変形方程式にとっては，その離散的な対称性を与える重要な変換である。あるいはシュレジンガー変換そのものがパンルヴェ方程式の差分類似と看做せる点で離散力学系、離散可積分系の観点から重要な研究対象である。
研究代表者は，あるクラスのシュレジンガー変換が Hermite-Pade 近似およびその双対問題を使って構成できることを発見している(眞野智行氏との共同研究)。この結果は，対象を確定特異点のみではなく不確定特異点をも許す一般的な状況にも拡 張される。また、この数年の間に明らかになって来た離散パンルヴェ方程式，およびその対称性とクラスター代数との関係について、mutation combinatorics と呼ぶグラフの組み合わせ的な操作からワイル群の双有理的な実現が自然に構成できることを増田哲氏，大久保直人氏との共同研究によって示している。
令和３年度は，その延長線上にあたる考察として，ある種の高階 q-差分パンルヴェ方程式とそのワイル群対称性のクラスター代数からの導出を与えた。この結果を，増田哲氏，大久保直人氏との共著論文として、学術雑誌 RIMS Koukyuroku Bessatsu から出版した。さらに上記クラスター代数を用いた構成法による広いクラスのワイル群の双有理表現に対し，付随する力学系のダルブー座標やタウ函数の由来をおおむね捉えることができた。なお、いくつかの証明すべき点については今後の本研究の中で明らかにされるものと考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究で得られた結果については，既に上梓した論文も含めて複数の論文を執筆中であり，当該分野の専門家の間でも概ね好評である。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究は現在までのところ，概ね順調に進行しているので，研究の方向性は維持したまま，継続していく。令和３年度までに，ある種の高階 q-差分パンルヴェ方程 式について，方程式およびそのワイル群対称性がクラスター代数から導出されることを示すことができた。背景となる箙(有向グラフ)は離散 KdV 方程式と呼ばれる典型的なソリトン方程式(無限可積分系)に対応する箙の周期簡約となっていることも示唆的で興味深い。またクラスター代数とグラフの組み合わせ的な議論からq-差分 パンルヴェ方程式を含むより一般なワイル群の双有理変換の「タウ函数」も概ね捉えることができているので、直近の課題はその証明を完成させることと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新型コロナウイルス感染症の感染拡大による影響のため，計画していた出張などを実施することが不可能であったため。次年度には，研究成果の発表および当該 分野の最新の研究についての連絡のための国内外の出張を計画している。
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