| 研究課題/領域番号 |
17K05280
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| 研究機関 | 鳥取大学 |
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研究代表者 |
井上 順子 鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 准教授 (40243886)
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| 研究期間 (年度) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | フーリエ変換 / 非可換調和解析 / ユニタリ表現論 / 複素解析的誘導表現 |
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| 研究実績の概要 |
局所コンパクト群上のLpフーリエ変換のノルムについて、Baklouti氏（スファックス大学）との共同研究により、次の結果をとりまとめ発表した。Gを可分、ユニモジュラーなⅠ型局所コンパクト群、NをGのユニモジュラーなⅠ型閉正規部分群で商群G/Nがコンパクトであるとする。このとき、1<p<2を満たす指数pに対して、GのLp-フーリエ変換のノルム|Fp(G)|はNのLpフーリエ変換のノルム|Fp(N)|以下であることを示した。また、特にGがNとコンパクト群Kの半直積である場合に、|Fp(G)|と|Fp(N)|が等しくなるための十分条件を１つ与えた。具体的にはN上のK不変なLp関数の列で、各関数のLpフーリエ変換のノルムがなす数列の極限値が|Fp(N)|となるようなものが存在する、という条件である。本結果は論文として学術雑誌に掲載された。
指数型リー群の複素解析的誘導表現については、一般ベクトル（超関数ベクトル）におけるフロベニウス相互律に関する研究を進めた。指数型リー群Gのリー環g上の実線型形式f、リー環gの複素化でfが定める双一次形式Bについて等方的な複素部分リー環hおよびモジュラー関数に関連する線型形式δをとり、組(f,h,δ)からGの複素解析的誘導表現ρを構成する。この時ρの既約分解に関わるGの各既約表現πにおいて、(f,h,δ)に関して半不変な一般ベクトルの空間の次元d(π)とπの重複度m(π)が一致するかどうか（「相互律」が成り立つかどうか）を調べた。本年度は零表現でない複素解析的誘導表現ρで、d(π)＝m(π)＝1となるような既約表現πとρの既約分解には現れないがd(π)＝1となるような既約表現πがそれぞれPlancherel測度に関して0でない集合をなす例を得た。この結果については2019年12月にチュニジアで開催された国際研究集会で講演発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ユニモジュラーなⅠ型局所コンパクト群のLpフーリエ変換の解析については、一般にユニモジュラー、Ⅰ型局所コンパクト群Nのコンパクト拡大で得られる群Gにおいて、GのLpフーリエ変換のノルムがNのLpフーリエ変換のノルム以下となるという結果をとりまとめ、学術雑誌に発表することができた。この結果は、コンパクト拡大に関してこれまでに得られた結果の一般化となっている。
複素解析的誘導表現の研究については、これまでの研究で、上記(f,h,δ)からの複素解析的誘導表現ρの既約分解において、各既約表現の一般ベクトルに関するフロベニウス相互律が成り立つ例と、複素解析的誘導表現ρは零表現であるが、Plancherel測度に関して殆ど全ての既約表現πにおいて半不変一般ベクトルが1次元の空間をなす例を得ていた。本年度は零表現でない複素解析的誘導表現ρで半不変な一般ベクトルの空間の次元とπの重複度の関係に対し、従来の「相互律」とは異なる現象を示す例を見出すことができ、研究集会で講演発表した。
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| 今後の研究の推進方策 |
複素解析的誘導表現の研究においては、引き続きフロベニウス相互律に着目し、複素解析的誘導表現の既約分解における各既約表現の重複度と半不変一般ベクトルの空間との関係を調べる。
Lpフーリエ変換の解析においては、対象とする群を拡げてLpフーリエ変換のノルムの評価に関する計算を進める。このため、局所コンパクト群Gの群環L1(G)やC*群環の構造についても調べ、Lpフーリエ解析への応用も試みる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初参加することを計画していた研究集会のうち、日程上の都合で参加期間の短縮や参加を取りやめたものがあった。また2020年2～3月においては、新型コロナウイルス(COVID-19)の感染拡大の影響により、参加予定であった研究集会等が開催中止となった。このため、旅費の一部が未使用となり、次年度に繰り越すことになった。
次年度は、表現論・非可換調和解析に関する研究情報を集めるため、国内および国外の研究者との研究交流を図る。このため例えば2020年12月にチュニジアで開催が予定されている国際研究集会に出席し、研究発表・研究議論等を行う計画である。研究集会参加のため必要となる旅費等、研究交流の費用に今年度の繰越金を合わせた研究費を使用する計画である。
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